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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:19 Sa 09.05.2009 | | Autor: | Adri_an |
| Aufgabe | Wir definieren den Exponenten eines Operators durch die Exponentialreihe
[mm]\exp(\hat{A})=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{\hat{A}^n}{n!}[/mm]
(a) Zeigen Sie für die Operatoren [mm]\hat{A}[/mm] und [mm]\hat{B}[/mm] die Identität
[mm]\exp(\hat{A})B\exp(-\hat{A})=\hat{B}+[\hat{A},\hat{B}]+\displaystyle\frac{[\hat{A},[\hat{A},\hat{B}]]}{2!}+...[/mm]
, indem Sie die Funktion [mm]f(\lambda)=\exp(\lambda A)B\exp(-\lambda A)[/mm] in eine Taylorreihe in [mm]\lambda[/mm] entwickeln und bei [mm]\lambda=1[/mm] auswerten. |
Bemerkung:
Diese Aufgabe wurde mir in der theoretischen Physik gestellt.
[mm][\hat{A},\hat{B}]:=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}[/mm]
heißt Kommutator. Ich weiß nicht, aus welcher Menge [mm]\lambda[/mm] ist, was aber für die Lösung der Aufgabenstellung anscheinend kein Porblem darstellt.
Ja, ich habe mich nicht vertippt, die Operatoren kommen einmal mit [mm]\hat{}[/mm] und ohne vor. Achselzucken.
Lösungsansatz:
Ich bin für die Entwicklung der Funktion von folgender Entwicklungsformel ausgegangen
[mm]f(\lambda)=\sum\limits_{k=0}^j\displaystyle\frac{f^{(k)}(\lambda_0)(\lambda-\lambda_0)^k}{k!}+\color{blue}{R_{j,t_0}(f)}[/mm]
, wobei [mm]\color{blue}{R_{j,t_0}(f)}[/mm] Lagrangesches-Restglied heißt, das ich zunächst noch nicht beachtet habe.
Mir ist aufgefallen, dass es schlecht ist, den Entwicklungspunkt wie in der Aufgabenstellung mit [mm]\lambda[/mm] zu bezeichnen, weil dies nur zu Verwirrungen führt. Deshalb habe ich den Entwicklungspunkt mit [mm]\lambda_0[/mm] wie in obiger Entwicklungsformel bezeichnet.
Folgende Frage/n habe ich bzgl. [mm]f(\lambda)[/mm]:
[mm]f^{(0)}(\lambda)=\exp(\lambda A)B\exp(-\lambda A)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{(\lambda A)^n}{n!}B\sum\limits_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^n(\lambda A)^n}{n!}=(\lambda^0 A^0+\lambda A+\displaystyle\frac{(\lambda A)^2}{2}+\displaystyle\frac{(\lambda A)^3}{6}+...)B(\lambda^0 A^0-\lambda A+\displaystyle\frac{(\lambda A)^2}{2}-\displaystyle\frac{(\lambda A)^3}{6}+...)[/mm]
1. Frage: Was ist [mm]A^0[/mm]? Gibt es da eine Definition? Habe in Bücher der Funktionalanalysis geschaut, aber nichts gefunden.
Nun zur 1. Ableitung....
[mm]f^{(1)}(\lambda)=(A+2(\lambda A)A\frac{1}{2}+3(\lambda A)^2)A\frac{1}{6}+...)B\exp(-\lambda A) + \exp(\lambda A)B(-A+2(\lambda A)A\frac{1}{2}-3(\lambda A)^3\frac{1}{6}+...)[/mm]
[mm]=(A+(\lambda A)A+\frac{(\lambda A)^2A}{2}+...)B\exp(-\lambda A)+\exp(\lambda A)B(-A+(\lambda A)A-\frac{(\lambda A)^2A}{2}+...)[/mm]
2. Frage: Was soll ich jetzt tun? Ich vermute Ausklammern, aber darf ich das?
Gruß,
Adrian.
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