Banach'sche Fixpunktsatz < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm]f(x)=\frac{1}{2}(x+\frac{3}{x})[/mm]
Zeigen Sie unter Verwendung des Banachschen Fixpunktsatzes, da die zugehorige Fixpunktiteration [mm]x_{n+1} = f(x_n) fur n = 0; 1;...für~ alle~ x\in (0;\inf) ~ gegen~ \wurzel{3}[/mm] konvergiert. |
Hallo
ich habe ein großes problem mit dem lösen dieser aufgabe.
Ich habe das iterationsverfahren des banachschen fixpunktsatzes angewendet bis ich schon sehr nah an der [mm] \wurzel(3) [/mm] war.
jedoch ist das nun ja kein beweis.
dann hab ich mir die skizze zur funktion passend angeschaut.
wir hatten beispiele in der vorlesung, bei denen gewisse intervalle betrachtet wurden, aber ich versteh nicht wie man genau auf die intervalle kommt.
wählt man die abhängig vom fixpunkt? sozusagen eine umgebung davon??
und was mache ich wenn ich die intervalle gefunden habe?
ein wenig tipps wären hilfreich
ps.: iwie hat der formelsatz gerade nicht funktioniert wie er sollte
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:36 Mi 21.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Zeige:
f([1,3]) [mm] \subseteq [/mm] [1,3]
und f ist auf [1,3] eine Kontraktion.
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:41 Do 22.11.2012 | | Autor: | davux |
Hallo,
müsste man die untere Grenze des abgeschlossenen Intervalls, welches D bildet, nicht entsprechend des in der Aufgabenstellung gegebenen Intervalls [mm] $(0,\infty)$ [/mm] setzen? Das heißt, wenn ich $[1,3]$ ansetze, dann habe ich zwar ein abgeschlossenes Intervall und damit eine notwendige Voraussetzung für die Anwendung des Banachschen Fixpunktsatzes, aber ich könnte mir ja dennoch ein [mm] $x_0\in(0,\infty)$ [/mm] wählen, was dann garnicht im Definitionsbereich der vermeintlichen Kontraktion $f$ liegt. Das scheint mir ein Problem zu sein. D sollte schon so gesetzt sein, dass es jeden Anfangswert für die Kontraktion zulässt. Dazu dachte ich mir, ich nehme als Intervallgrenzen für ein [mm] $\epsilon>0$, [/mm] so dass [mm] $x_0-\epsilon>0$, [/mm] das Intervall [mm] $D=[x_0-\epsilon,f(x_0-\epsilon)]$, [/mm] aber ich bin nicht sicher, ob es zulässig ist, die Grenzen derart abhängig vom Startwert zu machen.
Gruß
#Edit: Ich sehe gerade, derjenige welche hat die Aufgabenstellung etwas unvollständig abgetippt. Es müsste meiner Schätzung nach ein fünfzeiliger Absatz sein. Auf jeden Fall ist dies die erste Hürde, die zu bewältigen ist. Es wird allerdings scheinbar nicht deutlich genug, dass es darum geht, D so zu setzen, damit es für jeden Startwert [mm] $x_0\in(0,\infty)$ [/mm] eine Kontraktion ist, weil die Null vergessen wurde.
Edit#3: Letzte Bearbeitung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:58 Sa 24.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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