C linear, bijektiv, winkeltreu < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:12 So 25.09.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Sei $T(z)= [mm] az+b\overline{z}, [/mm] \ a,b [mm] \in \IC$
[/mm]
Unter welcher Bedingung...
a) an a und b ist T [mm] $\IC-linear$ [/mm] ?
b) ist T winkeltreu
c) ist T bijektiv
d) gilt $|T(z)| = |z| \ \ [mm] \forall [/mm] z [mm] \in \IC$ [/mm] |
Hallo,
a) Bedingungen für [mm] $\IC-Linearitaet$ [/mm] sind: [mm] $\forall [/mm] c,d,w [mm] \in \IC$: [/mm]
1. $T(c+d) = [mm] a(c+d)+b(\overline{c}+\overline{d}) [/mm] = [mm] ac+b\overline{c} [/mm] + ad + [mm] b\overline{d} [/mm] = T(c)+T(d)$
2. $T(wz) = [mm] a(wz)+b(\overline{wz})= w(a(z)+b(\overline{z})) [/mm] = wT(z)$
Also ist $T(z) \ [mm] \IC-linear [/mm] \ [mm] \forall a\in \IC, [/mm] b=0$
b) für Winkeltreue muss erfüllt sein:
$|c||w|<T(c),T(w)> = |T(w)||T(c)|<c,w> [mm] \gdw [/mm] \ [mm] \exists a\in \IC^{x}: [/mm] T(z)=za [mm] \vee T(z)=a\overline{z} [/mm] \ [mm] \gdw [/mm] \ [mm] \exists [/mm] s>0: <T(w),T(z)> = s<w,z> \ [mm] \forall [/mm] w,z [mm] \in \IC [/mm] $
also ist T(z) winkeltreu falls: $a [mm] \in \IC, [/mm] b=0$ und [mm] $b\in \IC, [/mm] a=0$ und $b=0, a=0$.
c) Es muss die Abbildungsmatrix invertierbar sein also die Determinante ungleich 0
$z:= w+ci, a:= e+fi, b := g+hi$
$T(z) = [mm] az+b\overline{z} [/mm] = [mm] a\vektor{w & -c \\ c & w} [/mm] + [mm] b\vektor{w & c \\ c & w} [/mm] = [mm] \vektor{e& -f\\ f & e} \vektor{w& -c \\ c & w} [/mm] + [mm] \vektor{g&-h \\ h& g} \vektor{w& c \\ c & w} [/mm] $
das scheint der falsche Weg zu sein oder meine Abbildungsmatrix ist falsch?
d) Bedingung ist $|T(z) | = T(z) [mm] \overline{T(z)} [/mm] = [mm] (az+b\overline{z})(\overline{az}+\overline{b}z) [/mm] = [mm] a\overline{a}z\overline{z} [/mm] + [mm] a\overline{b}z^{2}+\overline{a}b\overline{z}^{2}+b\overline{b}z\overline{z} [/mm] = [mm] z\overline{z}$ [/mm]
Daraus folgt: $|T(z)| = |z| [mm] \Rightarrow [/mm] ab=0 , |a+b| = 1 $
Ist das so richtig?
Bin für eine Korrektur äusserst dankbar.
Vielen Dank und Gruss
kushkush
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Den Fall [mm]a=b=0[/mm] würde ich als Sonderfall vorweg behandeln: Die Nullabbildung ist linear, nicht bijektiv und natürlich auch nicht längentreu. Die Winkeltreue ist im Zusammenhang mit der Nullabbildung kein sinnvoller Begriff.
So kann man sich von jetzt an darauf beschränken, daß [mm]a,b[/mm] nicht beide zugleich 0 sind.
Bei a) und b) habe ich dieselben Ergebnisse wie du. Allerdings verstehe ich deine Argumentation nicht. Ich sehe da Ansätze, aber nicht, wie du von diesen auf die Ergebnisse kommst.
Bei c) habe ich herausgefunden, daß die Abbildung dann und nur dann bijektiv ist, wenn [mm]|a| \neq |b|[/mm] ist. Und zwar ist [mm]S[/mm] mit
[mm]S(z) = \frac{\bar{a} z - b \bar{z}}{|a|^2 - |b|^2}[/mm]
die Umkehrabbildung. Man zeigt einfach, daß sowohl [mm]S \circ T[/mm] als auch [mm]T \circ S[/mm] die Identität auf [mm]\mathbb{C}[/mm] ist. Auf [mm]S[/mm] kommt man durch Auflösen der Gleichung
[mm]w = az + b \bar{z}[/mm]
nach [mm]z[/mm]. Das wird bewerkstelligt, indem man in der Gleichung zum konjugiert Komplexen übergeht. Dann hat man eine weitere Gleichung in z und [mm] \bar{z}, [/mm] so daß man [mm] \bar{z} [/mm] aus den beiden Gleichungen eliminieren kann.
Daß [mm]T[/mm] im Falle [mm]|a| = |b|[/mm] nicht bijektiv ist, beweist man, indem man konkret zwei verschiedene Urbilder angibt, die dasselbe Bild besitzen.
Und bei d) ist es wohl so, daß eine der Größen [mm]a,b[/mm] Null sein und die andere den Betrag 1 haben muß. Aber auch hier verstehe ich deine Argumentation nicht.
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Hallo Leopold,
> argumentation
bei a) durch die Homogenitätsbedingung $T(wz)=wT(z)$ mit $w [mm] \in \IC$ [/mm] für die [mm] $\IC$-Linearität. [/mm] Wäre äre die Gleichheit
$T(wz) = a(wz) + [mm] b(\overline{wz}) \ne w(az+b\overline{z}) [/mm] = wT(z)$
erfüllt für ein b ungleich 0, dann ist w nicht mehr eindeutig, Widerspruch.
b) eingesetzt in die Definition: $T(z) = [mm] az+b\overline{z} [/mm] = az [mm] \Rightarrow a\in \IC, [/mm] b=0$, $T(z) = [mm] az+b\overline{z} [/mm] = [mm] b\overline{z} \Rightarrow [/mm] a=0, [mm] b\in \IC$
[/mm]
> c)
wau ohne Determinante! Danke!!
> d)
$ |T(z) | = T(z) [mm] \overline{T(z)} [/mm] = [mm] (az+b\overline{z})(\overline{az}+\overline{b}z) [/mm] = [mm] a\overline{a}z\overline{z} [/mm] + [mm] a\overline{b}z^{2}+\overline{a}b\overline{z}^{2}+b\overline{b}z\overline{z} [/mm] = [mm] z\overline{z} [/mm] $
mit $a,b [mm] \in \IC$, [/mm] $ab=0$, $|a+b| = [mm] a\overline{a}+b\overline{a}+a\overline{b}+ b\overline{b}$ [/mm] und für $1. a=0 : [mm] b\overline{b}=1 \Rightarrow [/mm] |a+b|=1$, für $2. b=0 : [mm] a\overline{a}=1 \Rightarrow [/mm] |a+b|=1$
aber das ist wohl keine anständige Argumentation...
>
Danke jedenfalls!!
Gruss
kushkush
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Mi 28.09.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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