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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 Di 20.06.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Es sei [mm] V=R[X]_2 [/mm] = {f [mm] \in [/mm] R[X] | grad(f) [mm] \le [/mm] 2 } Man zeige dass die drei Auswertungshomomorphismen
[mm] \psi_0(f)=f(0) [/mm]
[mm] \psi_1(f)=f(1)
[/mm]
[mm] \psi_2(f)=f(2)
[/mm]
eine Basis des Dualraums V* bilden.
Man bestimme ferner eine Basis [mm] g_o,g_1,g_2 [/mm] von V derart, dass [mm] \psi_0, \psi_1, \psi_2 [/mm] die zugehörige Dualbasis bildet. |
Guten Nachmittag !!
hab ne kurze frag zu dieser aufgabe. Die Basis [mm] g_i [/mm] konnte ich bestimmen mit [mm] \psi_i (g_j) [/mm] = kronecker symbol.
Jetzt müsste ich aber noch zeigen dass die Hom [mm] \psi_i [/mm] eine Basis bilden. Zum einen ist ja dim V = dim V*=3 , aber ich müsste wohl noch die lineare Unabhängigkeit zeigen, und da hab ich mir zwar diesen Ansatz überlegt:
[mm] \lambda_0 \psi_0 [/mm] + [mm] \lambda_1 \psi_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 \psi_2 [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow \lambda_i [/mm] = 0.
also [mm] \lambda_0 [/mm] c + [mm] \lambda_1 [/mm] (a+b+c) + [mm] \lambda_2 [/mm] (4a+2b+c) = 0
nur hab ich da so viele buchstaben, und hier weiß ich nicht weiter ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]") wer kann mir helfen?
müsste ich bei der basis [mm] g_i [/mm] eigentlich auch noch zeigen dass sie linear unabhängig ist?
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 Di 20.06.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo riley,
> Es sei [mm]V=R[X]_2[/mm] = [mm]\{f\in[/mm] R[X] | grad(f) [mm]\le2 \}[/mm] Man zeige
> dass die drei Auswertungshomomorphismen
> [mm]\psi_0(f)=f(0)[/mm]
> [mm]\psi_1(f)=f(1)[/mm]
> [mm]\psi_2(f)=f(2)[/mm]
> eine Basis des Dualraums V* bilden.
> Man bestimme ferner eine Basis [mm]g_o,g_1,g_2[/mm] von V derart,
> dass [mm]\psi_0, \psi_1, \psi_2[/mm] die zugehörige Dualbasis
> bildet.
> Guten Nachmittag !!
> hab ne kurze frag zu dieser aufgabe. Die Basis [mm]g_i[/mm] konnte
> ich bestimmen mit [mm]\psi_i (g_j)[/mm] = kronecker symbol.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Jetzt müsste ich aber noch zeigen dass die Hom [mm]\psi_i[/mm] eine
> Basis bilden. Zum einen ist ja dim V = dim V*=3 , aber ich
> müsste wohl noch die lineare Unabhängigkeit zeigen,
> und da
> hab ich mir zwar diesen Ansatz überlegt:
> [mm]\lambda_0 \psi_0[/mm] + [mm]\lambda_1 \psi_1[/mm] + [mm]\lambda_2 \psi_2[/mm] = 0
> [mm]\Rightarrow \lambda_i[/mm] = 0.
> also [mm]\lambda_0[/mm] c + [mm]\lambda_1[/mm] (a+b+c) + [mm]\lambda_2[/mm] (4a+2b+c)
> = 0
Hier hast Du jetzt also in die vorige Gleichung irgendein Polynom eingesetzt. Allerdings ist zu beachten, dass [mm]\lambda_0 \psi_0[/mm] + [mm]\lambda_1 \psi_1[/mm] + [mm]\lambda_2 \psi_2[/mm] = 0 gleichzeitig für alle möglichen Polynome gelten muss: die rechte Seite ist ja auch ein Element aus V*, nämlich die Nullabbildung.
Das bedeutet also, dass [mm]\lambda_0[/mm] c + [mm]\lambda_1[/mm] (a+b+c) + [mm]\lambda_2[/mm] (4a+2b+c) = 0 für alle möglichen Kombinationen von a,b,c gelten muss. Und wenn man sich jetzt da ein paar geeignete aussucht, dann folgt schnell, dass alle [mm] \lambda [/mm] = 0 sein müssen.
> nur hab ich da so viele buchstaben, und hier weiß ich
> nicht weiter wer kann mir helfen?
>
> müsste ich bei der basis [mm]g_i[/mm] eigentlich auch noch zeigen
> dass sie linear unabhängig ist?
Wenn das eine Tripel eine Basis ist, dann müßte das duale eigentlich auch eine Basis sein, insofern kann man sich das denke ich sparen.
>
> viele grüße
> riley
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Di 20.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Piet!!
Vielen Dank für deine Antwort!! =)
ich mein, ich hab ja nicht irgendein polynom eingesetzt, sondern schon die entsprechenden von [mm] \lambda_i. [/mm] Die Polynome aus V haben ja alle diese Form: ax²+bx+c, also
[mm] \psi_0(f)=f(0)=a [/mm] 0 + b 0 + c =c
[mm] \psi_1(f)=f(1)= [/mm] a+b+c
[mm] \psi_2(f)=f(2)= [/mm] 4a + 2b+c
aber was meinst du mit geeigneten kombinationen, wie finde ich solche'??
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 Di 20.06.2006 | | Autor: | piet.t |
> Hi Piet!!
> Vielen Dank für deine Antwort!! =)
>
> ich mein, ich hab ja nicht irgendein polynom eingesetzt,
> sondern schon die entsprechenden von [mm]\lambda_i.[/mm] Die
> Polynome aus V haben ja alle diese Form: ax²+bx+c, also
> [mm]\psi_0(f)=f(0)=a[/mm] 0 + b 0 + c =c
> [mm]\psi_1(f)=f(1)=[/mm] a+b+c
> [mm]\psi_2(f)=f(2)=[/mm] 4a + 2b+c
>
> aber was meinst du mit geeigneten kombinationen, wie finde
> ich solche'??
>
> viele grüße
> riley
Da hab ich mich vielleicht etwas unglücklich ausgedrückt. Schauen wir uns daoch mal die zu untersuchende Linearkombination an:
[mm]\lambda_0\psi_0(f) + \lambda_1\psi_1(f) + \lambda_2\psi_2(f)[/mm]
Das ganze ist ja wieder eine Linearform, die man auf irgendwelche Polynome aus V anwenden kann. Das "=0" bedeutet aber, dass egal welches Polynom man einsetzt immer 0 rauskommen muss (wobei die [mm] \lambda [/mm] immer die gleichen sein müssen!!).
Mit einem beliebigen Polynom [mm] ax^2+bx+c [/mm] hast Du damit ja schon raus:
[mm]\lambda_0 c + \lambda_1 (a+b+c) + \lambda_2 (4a+2b+c) = 0[/mm]
Sortieren wir das ganze mal nicht nach [mm] \lambda, [/mm] sondern nach a,b und c:
[mm]a(\lambda_1 + 4\lambda_2) + b(\lambda_1 + 2\lambda_2) + c(\lambda_0 + \lambda_1 + \lambda_2) = 0[/mm]
Auch das muss jetzt für alle möglichen Kombinationen a, b und c gelten.
D.h. mann kann jetzt z.B. (a,b,c) = (1,0,0) und (0,1,0) und (0,0,1) setzen und bekommt drei Gleichungen für die drei [mm] \lambda [/mm] (im Prinzip ist das nichts anderes als Koeffizientenvergleich nach den Koeffizienten von a, b und c).
Und damit sollten Deine [mm] \lambda [/mm] bestimmt sein!
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Mi 21.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Piet!!
Vielen Dank für deine Erklärungen!! Ich versteh schon wie du gemeint hast, dass man die [mm] \lambda [/mm] s dann ausrechnen kann(nach wahl von a,b,c), aber warum darf man sich für a,b,c irgendetwas wählen, weil es doch eigentlich für alle gelten soll... ??
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 Mi 21.06.2006 | | Autor: | piet.t |
> Hi Piet!!
> Vielen Dank für deine Erklärungen!! Ich versteh schon
> wie du gemeint hast, dass man die [mm]\lambda[/mm] s dann ausrechnen
> kann(nach wahl von a,b,c), aber warum darf man sich für
> a,b,c irgendetwas wählen, weil es doch eigentlich für alle
> gelten soll... ??
Nun, wenn es für alle Kombinationen von (a,b,c) gelten soll, dann muss es notwendigerweise ja auch für die drei gewählten gelten. Das ganze wäre natürlich noch nicht hinreichend, d.h. es könnte u.U. noch andere Kombinationen geben, wo die Gleichung nicht erfüllt ist. Dann würde man für diese Kombination aber andere [mm] \lambda [/mm] rausbekommen, und dann hätte man wohl ein größeres Problem.
Allerdings stellt sich das hier ja (hoffentlich) nicht, weil wir ja [mm] \lambda_0=\lambda_1=\lambda_2=0 [/mm] rauskriegen, und das löst erfüllt die Gleichung sicher für alle (a,b,c).
Gruß
piet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:22 Mi 21.06.2006 | | Autor: | Riley |
hi piet!
okay, dankeschön für deine hilfe !!
viele grüße
riley
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