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| Aufgabe | | Wie lang sind die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks mit dem Umfang u = 2cm wenn die Hypotenuse ein Minimum sein soll? |
Hallo!
Ableiten kann ich ja, aber ich schaffe es nicht, eine Funktionsgleichung aufzustellen. Könnte mir bitte jemand helfen?
Meine Überlegungen sind:
[mm] c =\wurzel{a^2+b^2} [/mm]
und
[mm] 2 = a + b + \wurzel{a^2+b^2}[/mm] =
[mm] 2 -a -b = + \wurzel{a^2+b^2}[/mm] =
[mm] (2 -a -b)^2 = + a^2+b^2[/mm] =
[mm] 4 -2a -2b -2a +a^2+ab -2b +ba +b^2= + a^2+b^2[/mm] =
[mm] 4 -4a -4b +2ab = 0 [/mm]
Jedoch scheint es mir aussichtslos, so etwas nach a oder b aufzulösen. Also habe ich eine Variable zuviel in meiner Funktionsgleichung!
Vielen Dank im Voraus
Gruß
Angelika
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:48 Sa 17.05.2008 | | Autor: | abakus |
> Wie lang sind die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks
> mit dem Umfang u = 2cm wenn die Hypotenuse ein Minimum sein
> soll?
> Hallo!
>
> Ableiten kann ich ja, aber ich schaffe es nicht, eine
> Funktionsgleichung aufzustellen. Könnte mir bitte jemand
> helfen?
>
> Meine Überlegungen sind:
>
> [mm]c =\wurzel{a^2+b^2} [/mm]
>
> und
>
> [mm]2 = a + b + \wurzel{a^2+b^2}[/mm] =
>
> [mm]2 -a -b = + \wurzel{a^2+b^2}[/mm] =
>
> [mm](2 -a -b)^2 = + a^2+b^2[/mm] =
>
> [mm]4 -2a -2b -2a +a^2+ab -2b +ba +b^2= + a^2+b^2[/mm] =
>
> [mm]4 -4a -4b +2ab = 0[/mm]
Diese Gleichung kann man nach a (oder b) umstellen.
2ab-4a=4b-4
a(2b-4)=4b-4
[mm] a=\bruch{4b-4}{2b-4}
[/mm]
Jetzt kannst du die Gleichung a+b+c=2 allein mit b ausdrücken.
(Mit ein wenig Überlegung kommt man auch ohne Rechnung auf die Idee, dass c minimal wird, wenn a=b gilt).
Viele Grüße
Abakus
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> Jedoch scheint es mir aussichtslos, so etwas nach a oder b
> aufzulösen. Also habe ich eine Variable zuviel in meiner
> Funktionsgleichung!
>
> Vielen Dank im Voraus
>
> Gruß
>
> Angelika
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Danke abakus!
Oft bleibt mir das offensichtlichste verborgen!
Angelika
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