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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:44 Do 20.09.2007 | | Autor: | Mach17 |
| Aufgabe | | Bestimme die Extrempunkte und Wendepunkte der Funktion f(x) = [mm] \wurzel{x^2+1} [/mm] . Bestimme dann [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f'(x) (plus und minus unendlich) . Was folgt daraus für den Graphen? |
Hallo Leute!
Letzte Aufgabe vor den Ferien :)
Meine bisherigen rechenschritte:
f'(x) = [mm] x/\wurzel{x^2+1}
[/mm]
f''(x) = [mm] 1/\wurzel{x^2+1} [/mm] (ist das richtig?)
So, dann habe ich einen Tiefpunkt bei (0|1) herausgefunden. Wendepunkte gibt es keine (?).
Und bei der Bestimmung des Limes hab ich auch schwierigkeiten (habe bis jetzt immer nur für einfache funktionen Limes bestimmt..)
Danke schonmal für jede Hilfe!
mfg
EDIT: Ich seh grade, das der Limes bei -unendlich gegen [mm] -\infty [/mm] und bei [mm] +\infty [/mm] gegen +1 läuft, ist das richtig? wenn ja, wie schreibt man das richtig auf? muss ich erst noch x ausklammern o.ä.?
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als kleiner tip:
gleichung unformen in
[mm] f(x)=(x²+1)^{0,5}
[/mm]
dann ist es auch einfacher:
[mm] f'(x)=\bruch{1}{2}*(x²+1)^{-0,5}
[/mm]
d.h.
[mm] f'(x)=\bruch{1}{2*\wurzel{x²+1}}
[/mm]
für die zweite Ableitung brauchst du dann die Quotientenregel:
die lautet dann [mm] f'(x)=\bruch{u'(x)*v(x)-u(x)*v'(x)}{v(x)²}
[/mm]
dann kannst du dich jetzt mal an die 2.te ableitung versuchen und dann die Extremstellen und Wendestellen ausrechnen
Gruß Edin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Do 20.09.2007 | | Autor: | Mach17 |
hi
Danke schonmal für deine Hilfe, aber fehlt da nicht noch was?
Bei der 1.Ableitung noch *2x (also mal innerer Ableitung)
Ok aber das mit den Ableitungen dürfte denk ich kein Problem mehr sein, muss ja nur die Quotientenregel richtig anwenden ;)
Kann mir denn noch jemand erklären wie das genau mit dem limes geht?
Danke
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:30 Do 20.09.2007 | | Autor: | defjam123 |
[mm] f'(x)=\bruch{1}{2x\wurzel{x²+1}}
[/mm]
gut aufgepasst ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:45 Do 20.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo defjam!
Das stimmt so nicht, was Du geschrieben hat. Du musst ja mit der inneren Ableitung gemäß  Kettenregel multiplizieren:
$$f'(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{x^2+1}}*\red{2x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x}{\wurzel{x^2+1}}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo Mach17,
ja da fehlt ein [mm] \cdot{}2x, [/mm] die innere Ableitung ist verlorengegangen.
Deine 1.Ableitung aus deinem oberen post ist vollkommen i.O. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Zeig doch nochmal deine 2. Ableitung her 
Zum [mm] \lim:
[/mm]
Da sollst du gucken, wie sich $f'(x)$ im Unendlichen verhält, wie also die Steigung des Graphen im Unendlichen aussieht.
Falls diese Grenzwerte existieren, liefern sie dir also die Steigung der Gerade(n), der/denen sich der Graph von $f$ für betragsmäßig rieeesige $x$ annähert
Dazu klammere mal bei $f'(x)$ im Nenner unter der Wurzel das [mm] $x^2$ [/mm] aus und hole es unter der Wurzel hervor.
Dann kannst du sehr bequem die Grenzbetrachtung [mm] $x\to\pm\infty$ [/mm] machen
Aber du musst aufpassen, wenn du [mm] $x^2$ [/mm] "aus der Wurzel holst".
Bedenke: bei [mm] \lim\limits_{x\to -\infty} [/mm] sind die $x<0$, bei [mm] \lim\limits_{x\to\infty} [/mm] sind die $x>0$
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Do 20.09.2007 | | Autor: | Mach17 |
Hi
Also meine 2. Ableitung:
f''(x) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{x^2+1}*(x^2+1)}
[/mm]
[mm] x^2 [/mm] auszuklammern wird schwer :-/
Also vll [mm] x/x^4\wurzel{1+1/x^2}
[/mm]
(kürzen) = [mm] 1/x^3\wurzel{1+1/x^2}
[/mm]
Hmm da bin ich irgendwie überfragt :-(
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Hi Mach,
> Hi
> Also meine 2. Ableitung:
> f''(x) = [mm]\bruch{1}{\wurzel{x^2+1}*(x^2+1)}[/mm]
>
> [mm]x^2[/mm] auszuklammern wird schwer :-/
> Also vll [mm]x/x^4\wurzel{1+1/x^2}[/mm]
> (kürzen) = [mm]1/x^3\wurzel{1+1/x^2}[/mm]
Hmmm
> Hmm da bin ich irgendwie überfragt :-(
ok, [mm] f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{x}{\sqrt{x^2\cdot{}\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}}=\frac{x}{\sqrt{x^2}\cdot{}\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}
[/mm]
Nun kannste aus dem [mm] x^2 [/mm] die Wurzel ziehen, aber mit Bedacht !!
s.o.
Danach kürzen und den Grenzübergang [mm] x\to\pm\infty [/mm] machen
LG
schachuzipus
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Hi,
genau das war der Bedacht, den ich meinte
[mm] \underline{\text{1.Fall}}: [/mm] du betrachtest [mm] \lim\limits_{x\to +\infty}
[/mm]
Dann sind die betrachteten x>0 und [mm] \sqrt{x^2}=x, [/mm] das ist ok
Dann stimmt auch der Rest, das Biest geht gegen +1
[mm] \underline{\text{2.Fall}}: [/mm] du betrachtest [mm] \lim\limits_{x\to -\infty}
[/mm]
Dann sind die betrachteten x<0 und [mm] \sqrt{x^2}=.....?
[/mm]
Ich geb dir ein Bsp. Dann kommst du drauf
Nehmen wir x=-2, was ist [mm] \sqrt{(-2)^2} [/mm] ?
Kommste nun hin?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Do 20.09.2007 | | Autor: | Mach17 |
Hi
Sry aber irgendwie wird mir das nicht ganz klar...
Also den 1. Fall verstehe ich.
> [mm]\underline{\text{2.Fall}}:[/mm] du betrachtest [mm]\lim\limits_{x\to -\infty}[/mm]
>
> Dann sind die betrachteten x<0 und [mm]\sqrt{x^2}=.....?[/mm]
>
>
> Ich geb dir ein Bsp. Dann kommst du drauf
>
> Nehmen wir x=-2, was ist [mm]\sqrt{(-2)^2}[/mm] ?
Den 2. Fall kann ich nicht ganz nachvollziehen... also für x=-2 kommt meiner Meinung nach 2 raus..
Wenn die betrachteten x<0 kleiner as Null sind, dürfte sich doch (im gegensatz zu Fall 1) nicht viel ändern, da ja erst Quadriert wird und dadruch dann ja eigentlich wieder x rauskommen müsste bzw gegen 1 geht..
Sry aber das ist mir irgendwie zu hoch
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Jo,
also im 2. Fall ist x<0, zB. x=-2, dann ist richtig [mm] \sqrt{x^2}=\sqrt{(-2)^2}=2
[/mm]
ABER [mm] $2\red{\ne}x$
[/mm]
sondern [mm] $2=\sqrt{x^2}=\red{-}x=\red{-}\underbrace{(-2)}_{=x}$
[/mm]
Eine Wurzel ist doch immer positiv (bzw. nicht-negativ, kann ja 0 sein),
also kann [mm] \sqrt{x^2} [/mm] für x<0 doch nicht x sein. Dann wäre die Wurzel ja negativ!!
Also kann man allg. sagen [mm] $\sqrt{x^2}=|x|=\begin{cases} x, & \mbox{für } x>0 \\ \red{-}x, & \mbox{für } x<0 \end{cases}$
[/mm]
Also ergibt sich bei der Betrachtung von
[mm] $\lim\limits_{x\to -\infty} f'(x)=\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{x}{\red{-}x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{1}{\red{-}1\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=...$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:29 Do 20.09.2007 | | Autor: | Mach17 |
Hi!
Danke, habs endlich verstanden! 
schönen Abend noch
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