Adjungierte Abbildung < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:49 Mi 07.07.2010 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | | Sei V ein endlichdimensionaler [mm] \IC-Vektorraum, [/mm] < , > ein Skalarprodukt. f:V [mm] \to [/mm] V sei eine lineare Abbildung. Zeige: Es existiert genau eine lineare Abbildung f*:V [mm] \to [/mm] V, sodass für alle x, y [mm] \in [/mm] V gilt: <f(x),y>=<x,f*(y)>. |
Hi!
Hier weiß ich nicht, wie ich die Existenz zeigen kann. Ich habe zwar ein bisschen rumgerechnet und ein paar Gleichungen aufgestellt, aber nichts herausbekommen, was die Existenz solch einer Abbildung f* zeigen würde. Die Eindeutigkeit ist dann allerdings einfach zu zeigen.
Aber kann mir jemand bei der Existenz von f* helfen?
Danke.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
|
|
| |
|
> Sei V ein endlichdimensionaler [mm]\IC-Vektorraum,[/mm] < , > ein
> Skalarprodukt. f:V [mm]\to[/mm] V sei eine lineare Abbildung. Zeige:
> Es existiert genau eine lineare Abbildung f*:V [mm]\to[/mm] V,
> sodass für alle x, y [mm]\in[/mm] V gilt: <f(x),y>=<x,f*(y)>.
> Hi!
>
> Hier weiß ich nicht, wie ich die Existenz zeigen kann. Ich
> habe zwar ein bisschen rumgerechnet und ein paar
> Gleichungen aufgestellt, aber nichts herausbekommen, was
> die Existenz solch einer Abbildung f* zeigen würde. Die
> Eindeutigkeit ist dann allerdings einfach zu zeigen.
>
> Aber kann mir jemand bei der Existenz von f* helfen?
>
> Danke.
>
> Teufel
Hi,
Also sei [mm] $a_1,\ldots,a_m$ [/mm] eine ONB von V. Setze [mm] $f^{\star}(w):=\sum_{k=1}^{n}{(w|f(a_k)a_k}$
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:27 Mi 07.07.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Danke erst mal.
Aber was ist denn [mm] (w|f(a_k)) [/mm] dabei?
Teufel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:37 Mi 07.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin
> Danke erst mal.
>
> Aber was ist denn [mm](w|f(a_k))[/mm] dabei?
Eine andere Schreibweise fuer's Skalarprodukt :)
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:57 Mi 07.07.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ok, danke! Im Nachhinein frage ich mich aber, wie man genau auf dieses f* kommen soll... da hätte ich ja ewig nach gesucht.
Teufel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:22 Mi 07.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin
> Ok, danke! Im Nachhinein frage ich mich aber, wie man genau
> auf dieses f* kommen soll... da hätte ich ja ewig nach
> gesucht.
Nimm eine ONB [mm] $a_1, \dots, a_n$. [/mm] Dann kannst du jeden Vektor $v [mm] \in [/mm] V$ schreiben als [mm] $\sum_{i=1}^n \langle [/mm] v, [mm] a_i \rangle a_i$.
[/mm]
Damit ist $f(v) = [mm] \sum_{i=1}^n \langle [/mm] f(v), [mm] a_i \rangle a_i [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n \langle [/mm] v, [mm] a_i \rangle f(a_i)$.
[/mm]
Schreibe [mm] $f^\ast(w) [/mm] := [mm] \sum_{i=1}^n \lambda_i a_i$. [/mm] Nun hast du die Gleichung [mm] $\langle [/mm] f(v), w [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] v, [mm] f^\ast(w) \rangle$. [/mm] Eingesetzt bedeutet das
[mm] $\langle \sum_i \langle [/mm] v, [mm] a_i \rangle f(a_i), \sum_j \langle [/mm] w, [mm] a_j \rangle a_j \rangle [/mm] = [mm] \langle \sum_i \langle [/mm] v, [mm] a_i \rangle a_i, \sum_j \lambda_j a_j \rangle$.
[/mm]
Auf der linken Seite vereinfacht: [mm] $\langle \sum_i \langle [/mm] v, [mm] a_i \rangle f(a_i), \sum_j \langle [/mm] w, [mm] a_j \rangle a_j \rangle [/mm] = [mm] \sum_{i,j} \langle [/mm] v, [mm] a_i \rangle \langle [/mm] w, [mm] a_j \rangle \langle f(a_i), a_j \rangle$
[/mm]
Auf der rechten Seite vereinfacht: [mm] $\langle \sum_i \langle [/mm] v, [mm] a_i \rangle a_i, \sum_j \lambda_j a_j \rangle [/mm] = [mm] \sum_{i,j}\sum_i \langle [/mm] v, [mm] a_i \rangle \lambda_j \langle a_i, a_j \rangle [/mm] = [mm] \sum_i \langle [/mm] v, [mm] a_i \rangle \lambda_i$.
[/mm]
Damit ist die Gleichheit z.B. dann erfuellt, wenn [mm] $\lambda_i [/mm] = [mm] \sum_j \langle [/mm] w, [mm] a_j \rangle \langle f(a_i), a_j \rangle$ [/mm] ist fuer alle $i$. (Es kann auch anders erfuellt sein, aber das hier ist die "offensichtlichste" Moeglichkeit.)
Jetzt beachte, dass fuer eine ONB [mm] $a_1, \dots, a_n$ [/mm] gilt [mm] $\langle [/mm] v, w [mm] \rangle [/mm] = [mm] \sum_i \langle [/mm] v, [mm] a_i \rangle \langle [/mm] w, [mm] a_i \rangle$.
[/mm]
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:52 Mi 07.07.2010 | | Autor: | Teufel |
Ok, das ist alles super verständlich, vielen Dank! Ich muss wohl mal lernen, besser mit Skalarprodukten rumzurechnen.
Schönen Abend noch und vielen Dank nochmal!
Teufel
|
|
|
|
