Algebra-Prüfung: Gruppentheori < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:09 Di 22.08.2006 | | Autor: | Oliilli |
| Aufgabe | Ich habe leider keine direkte Rechenaufgabe, sondern Theoriefragen??
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Ich habe in 8 Wochen Mathe-Staatsexamen unter anderem in Algebra. Leider hab ich in Algebra die Vorlesung nicht gehört, sondern nur die Übungen mit einer Freundin abgegeben, da meine Tochter da erst einige Monate alt war und ich somit nicht in die Vorlesungen konnte.
Deshalb habe ich mehrere wahrscheinlich blöde Fragen und hoffe, dass mir jemand helfen kann!
Hier die Fragen:
injektiv, surjektiv
Warum folgt aus linksinvers injektiv und aus rechtsinvers surjektiv??
Beweis
Noch eine Frage zu einem ganz einfachen Beweis.
Satz: Ein Homomorphismus [mm] \phi [/mm] : G [mm] \to [/mm] G' von Gruppen ist genau dann injektiv, wenn [mm] Ker(\phi)= [/mm] {e} gilt.
Beweis:
Es sei [mm] Ker(\phi)= [/mm] {e}. Sind [mm] a,b\inG [/mm] mit [mm] \phi(a)=\phi(b), [/mm] so gilt:
[mm] \phi(ab^{-1})=\phi(a)\phi(b^{-1})=\phi(a)\phi(b)^{-1}=e [/mm] (bis hier alles klar)
wegen [mm] Ker(\phi)= [/mm] {e} folgt [mm] ab^{-1}=e [/mm] (warum folgt das), also a=b.
Kern und Bild
Kern und Bild hab ich noch nie so richtig verstanden....
Gibt es da eine anschauliche Vorstellung oder muss ich nur die Definitionen auswendiglernen?
Links-, Rechtsnebenklassen
da habe ich diese Definition stehen
[mm] aH:={ax;x\inH} [/mm] Linksnebenklasse von a bzgl H
[mm] Ha:={xa;x\inH} [/mm] Rechtsnebenklasse von a bzgl H
die Definition ist ja eigentlich nicht kompliziert. aber ich verstehe den Sinn nicht. Kann mir jemand anschaulich erklären, was man unter diesen Nebenklassen versteht und für was man sie braucht?
Man braucht die Definition ja dann auch noch später für die Definition des Index.
Kongruent modulo H
Was kongruent heißt weiß ich theoretisch. Aber ich kenn die Definition nur als z.B. a [mm] \equiv [/mm] bmodn und nicht als a [mm] \equiv [/mm] bmodH (also modulo einer Untergruppe??)
Und was hat diese Definition: [mm] a,b\inH [/mm] sind kongruent modulo H, wenn [mm] a^{-1}b\in [/mm] H mit der allgemein üblichen Definition zu tun (aus der Zahlentheorie)?
Vielen, vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:50 Di 22.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Oliilli!
> Hier die Fragen:
> injektiv, surjektiv
> Warum folgt aus linksinvers injektiv und aus rechtsinvers
> surjektiv??
Das siehst du direkt an den Beweisen:
Sei $f : A [mm] \to [/mm] B$ linksinvers, also es gebe eine Funktion $g : B [mm] \to [/mm] A$ mit $g [mm] \circ [/mm] f = [mm] id_A$. [/mm] Sind $a, b [mm] \in [/mm] A$ mit $f(a) = f(b)$, so ist natuerlich auch $g(f(a)) = g(f(b))$. Nun ist aber $g(f(a)) = [mm] id_A(a) [/mm] = a$ und genauso $g(f(b)) = b$. Also folgt aus $f(a) = f(b)$ schon, dass $a = b$ ist. Aber das bedeutet gerade, dass $f$ injektiv ist.
Und genauso fuer $f : A [mm] \to [/mm] B$ rechtsinvers: Dann gibt es ein $g : B [mm] \to [/mm] A$ mit $f [mm] \circ [/mm] g = [mm] id_B$. [/mm] Sei $b [mm] \in [/mm] B$ beliebig und $a := g(b)$. Dann ist $f(a) = f(g(b)) = [mm] id_B(b) [/mm] = b$, womit $b$ im Bild von $f$ liegt. Da $b [mm] \in [/mm] B$ beliebig war ist $f$ also surjektiv.
> Beweis
> Noch eine Frage zu einem ganz einfachen Beweis.
> Satz: Ein Homomorphismus [mm]\phi[/mm] : G [mm]\to[/mm] G' von Gruppen ist
> genau dann injektiv, wenn [mm]Ker(\phi)=[/mm] {e} gilt.
> Beweis:
> Es sei [mm]Ker(\phi)=[/mm] {e}. Sind [mm]a,b\inG[/mm] mit [mm]\phi(a)=\phi(b),[/mm]
> so gilt:
>
> [mm]\phi(ab^{-1})=\phi(a)\phi(b^{-1})=\phi(a)\phi(b)^{-1}=e[/mm]
> (bis hier alles klar)
>
> wegen [mm]Ker(\phi)=[/mm] {e} folgt [mm]ab^{-1}=e[/mm] (warum folgt das),
Du weisst, dass [mm] $\phi(a b^{-1}) [/mm] = e$ ist. Nun ist [mm] $Ker(\phi)$ [/mm] die Menge aller Elemente, die durch [mm] $\phi$ [/mm] auf $e$ abgebildet wird. Also ist $a [mm] b^{-1} \in Ker(\phi)$.
[/mm]
> also a=b.
>
> Kern und Bild
> Kern und Bild hab ich noch nie so richtig verstanden....
> Gibt es da eine anschauliche Vorstellung oder muss ich nur
> die Definitionen auswendiglernen?
Die anschaulichste Vorstellung gibt es wohl bei Homomorphismen zwischen Vektorraeumen: Der Kern ist die Menge der Elemente, die auf den Nullvektor abgebildet werden. Und das Bild alles, was erreicht werden kann. Kern und Bild sind jeweils Untervektorraeume. Ich persoenlich kann mir das am besten zusammen mit dem Homomorphiesatz vorstellen:
Wenn man den Kern wegdividiert, bleibt eine injektive Funktion (mit trivialem Kern) zurueck: der Kern sagt also, wie weit die Funktion von injektiv weg ist. Das Bild ist ja isomorph zum Quotienten Vektorraum modulo Kern.
Du solltest auf jeden Fall wissen, was Kern und Bild bedeuten (also insb. die Definition kennen und grundlegende Eigenschaften)!
> Links-, Rechtsnebenklassen
> da habe ich diese Definition stehen
> [mm]aH:={ax;x\inH}[/mm] Linksnebenklasse von a bzgl H
> [mm]Ha:={xa;x\inH}[/mm] Rechtsnebenklasse von a bzgl H
>
> die Definition ist ja eigentlich nicht kompliziert. aber
> ich verstehe den Sinn nicht. Kann mir jemand anschaulich
> erklären, was man unter diesen Nebenklassen versteht und
> für was man sie braucht?
Die Links- und Rechtsnebenklassen bilden jeweils eine Partition der Gruppe: Sie sind gerade die Aequivalenzklassen der zwei Aequivalenzrelationen, die durch $H$ induziert werden (eine fuer Linksnebenklassen und eine fuer Rechtsnebenklassen).
> Man braucht die Definition ja dann auch noch später für
> die Definition des Index.
Genau. Der ist einfach die Anzahl der Linksnebenklassen. Und die ist genau gleich der Anzahl der Rechtsnebenklassen (das ist beweiswuerdig, der Beweis ist aber nicht allzu schwer).
> Kongruent modulo H
> Was kongruent heißt weiß ich theoretisch. Aber ich kenn
> die Definition nur als z.B. a [mm]\equiv[/mm] bmodn und nicht als a
> [mm]\equiv[/mm] bmodH (also modulo einer Untergruppe??)
Die beiden Definitionen sind doch genau das gleiche! (Wenn du [mm] $\mod [/mm] n$ auffasst als [mm] $\mod [/mm] (n)$, wobei $(n)$ das von $n$ erzeugte Ideal in [mm] $\IZ$ [/mm] ist.) Es bedeutet halt, das die Differenz (bei additiver Schreibweise) der beiden Seiten in der Untergruppe liegt (bzw. durch $n$ teilbar ist, also im Ideal $(n)$ liegt).
> Und was hat diese Definition: [mm]a,b\inH[/mm] sind kongruent
> modulo H, wenn [mm]a^{-1}b\in[/mm] H mit der allgemein üblichen
> Definition zu tun (aus der Zahlentheorie)?
Wenn du das additiv schreibst, steht da grad $(-a) + b = -(a - b) [mm] \in [/mm] H$. Und $-(a - b) [mm] \in [/mm] H$ bedeutet bei $H = (n)$ gerade, dass $a - b$ durch $n$ teilbar ist.
Ich hoffe mal das hilft dir weiter!
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:33 Mi 23.08.2006 | | Autor: | Oliilli |
Hallo Felix,
vielen, vielen Dank das hat mir schon sehr geholfen!
(Wahrscheinlich werden noch mehr fragen von mir kommen...)
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