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| Aufgabe | Seien K ein Körper und V ein K-Vektorraum.Man beweise:
a) Seien s,t [mm] \in \wedge^{2}V. [/mm] Dann gilt: s [mm] \wedge [/mm] t=t [mm] \wedge [/mm] s. |
Hallo^^,
Ich habe so [mm] angefangen:\wedge^{2}V=\{a+X_{v}: a \in T^{2}V\}.
[/mm]
Daraus folgt a=v [mm] \otimes [/mm] v, v [mm] \in [/mm] V.
Weiter ist [mm] s=v_{1} \otimes v_{1}+X_{v}, [/mm] wobei [mm] X_{v} [/mm] ein Unterraum von V und [mm] t=v_{2} \otimes v_{2}+X_{v}. [/mm] Somit ist
s [mm] \wedge t=(v_{1} \otimes v_{1}+X_{v}) \wedge (v_{2} \otimes v_{2}+X_{v})=(v_{1} \wedge v_{1}) \otimes (v_{2} \wedge v_{2})=0 \otimes [/mm] 0=0.
Analog ist t [mm] \wedge [/mm] s=0 [mm] \otimes [/mm] 0.
Stimmt das so?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:31 Fr 17.06.2011 | | Autor: | Espe |
Grundsätzlich verstehe ich dich so, dass [mm] \wedge^{2}V [/mm] der Teil der Graßmann-Algebra ist, der aus zwei Termen besteht (also wenn du so willst, wenn [mm] e_1 [/mm] ... [mm] e_n [/mm] ne Basis von V ist, der Teil der von [mm] e_1\wedge e_2, [/mm] usw erzeugt wird. D.h. deine Elemente werden die Form s = [mm] v_1 \wedge v_2 [/mm] bzw. t = [mm] w_1 \wedge w_2 [/mm] haben.
[mm] s\wedge [/mm] t = [mm] v_1\wedge v_2 \wedge w_1 \wedge w_2 [/mm] =
[mm] (-1)v_1\wedge v_2 \wedge w_2 \wedge w_1 [/mm] usw...
generell gilt für v,w [mm] \in [/mm] V : [mm] v\wedge [/mm] w = - [mm] w\wedge [/mm] v .
du kriegst also mit jeder Vertauschung 1 minuszeichen rein, und deine Elemente sind alles andere als null.
Ich versteh leider auch deine Definition von [mm] \wedge^{2}V [/mm] nicht so ganz, wenn du magst kannst du sie mir ja nochmal erklären, vielleicht klärt sich da noch ein Missverständnis
Lieben Gruß
Espe
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Hallo Espe,
> Grundsätzlich verstehe ich dich so, dass [mm]\wedge^{2}V[/mm] der
> Teil der Graßmann-Algebra ist, der aus zwei Termen besteht
> (also wenn du so willst, wenn [mm]e_1[/mm] ... [mm]e_n[/mm] ne Basis von V
> ist, der Teil der von [mm]e_1\wedge e_2,[/mm] usw erzeugt wird.
> D.h. deine Elemente werden die Form s = [mm]v_1 \wedge v_2[/mm] bzw.
> t = [mm]w_1 \wedge w_2[/mm] haben.
Ja genau.
> [mm]s\wedge[/mm] t = [mm]v_1\wedge v_2 \wedge w_1 \wedge w_2[/mm] =
> [mm](-1)v_1\wedge v_2 \wedge w_2 \wedge w_1[/mm] usw...
>
> generell gilt für v,w [mm]\in[/mm] V : [mm]v\wedge[/mm] w = - [mm]w\wedge[/mm] v .
> du kriegst also mit jeder Vertauschung 1 minuszeichen
> rein, und deine Elemente sind alles andere als null.
Okay, also könnte ich jetzt immer weiter vertauschen bis ich [mm]s\wedge[/mm] t = [mm]v_1\wedge v_2 \wedge w_1 \wedge w_2[/mm] = [mm](-1)v_1\wedge v_2 \wedge w_2 \wedge w_1[/mm]=...= t [mm] \wedge [/mm] s habe?
Ich habe dann [mm](-1)v_1\wedge v_2 \wedge w_2 \wedge w_1[/mm]=[mm]v_2\wedge v_1 \wedge w_2 \wedge w_1[/mm]=[mm](-1)w_1\wedge w_2 \wedge v_2 \wedge v_1[/mm]=[mm]w_1\wedge w_2 \wedge v_1 \wedge v_2[/mm]=t [mm] \wedge [/mm] s.
Kann man das so machen, denn bei dem 2. Gleichheitszeichen bin ich mir unsicher ?
>
> Ich versteh leider auch deine Definition von [mm]\wedge^{2}V[/mm]
> nicht so ganz, wenn du magst kannst du sie mir ja nochmal
> erklären, vielleicht klärt sich da noch ein
> Missverständnis
Gerne. Also wir haben zuerst folgendes definiert:
1." Sei X [mm] \subset [/mm] TV der Unterraum [mm] X_{v}=Lin_{k}\{s \otimes v \otimes v \otimes t: v \in V, s,t \in TV\}. [/mm] Der Quotient [mm] \wedge*V=TV/X_{v} [/mm] heißt die äußere Algebra von V.
Anstelle von [mm] v_{1} \otimes v_{2} \otimes...\otimes v_{k}+X_{v} [/mm] mit [mm] v_{i} \in [/mm] V schreibt man [mm] v_{1} \wedge v_{2} \wedge...\wedge v_{k}".
[/mm]
Und haben dann noch aufgeschrieben:
"Sei V ein K-Vektorraum.Dann ist [mm] \wedge*V=\oplus \wedge^{n}*V, [/mm] wobei [mm] \wedge^{n}*V=\{t+X_{v}:t \in T^{n}V\} [/mm] eine graduierte k-Algebra mit [mm] (s+X_{v}) \otimes (t+X_{v})=s \otimes t+X_{v} \forall [/mm] s,t [mm] \in [/mm] TV".
Deswegen hatte ich das auch so mit [mm] \otimes [/mm] und [mm] t+X_{v} [/mm] aufgeschrieben.
Vielen Dank
lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:20 Di 21.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Di 21.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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