Bruch integrieren < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:43 So 28.02.2010 | | Autor: | peeetaaa |
| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] \integral_{0}^{2}{\bruch{1}{2+3x+x^2} dx} [/mm] |
Hallo,
ich hab noch nen Problem mit dem integrieren von Brüchen.
Hab jetzt so angefangen:
[mm] \integral_{0}^{2}{\bruch{1}{2+3x+x^2} dx}
[/mm]
durch Substitution
[mm] u=2+3x+x^2
[/mm]
u'= [mm] \bruch{du}{dx}= [/mm] 3+2x => [mm] dx=\bruch{du}{2x+3}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{2}{\bruch{x}{u} \bruch{du}{2x+3} dx}
[/mm]
aber wie mache ich jetzt weiter? bzw ist das überhaupt richtig so?
gruß peeetaaa
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> Berechnen Sie [mm]\integral_{0}^{2}{\bruch{1}{2+3x+2^2} dx}[/mm]
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> Hallo,
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> ich hab noch nen Problem mit dem integrieren von Brüchen.
> Hab jetzt so angefangen:
>
> [mm]\integral_{0}^{2}{\bruch{1}{2+3x+2^2} dx}[/mm]
>
> durch Substitution
> [mm]u=2+3x+x^2[/mm]
> u'= [mm]\bruch{du}{dx}=[/mm] 3+2x => [mm]dx=\bruch{du}{2x+3}[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{2}{\bruch{x}{u} \bruch{du}{2x+3} dx}[/mm]
>
> aber wie mache ich jetzt weiter? bzw ist das überhaupt
> richtig so?
hier führt eine partialbruchzerlegung schnell zum ziel!
>
> gruß peeetaaa
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 So 28.02.2010 | | Autor: | peeetaaa |
okay habs jetzt mal mit Partialbruchzerlegung probiert:
[mm] \integral_{0}^{2}{\bruch{1}{2+3x+2^2} dx}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2+3x+2^2}= \bruch{A}{x+2}+\bruch{B}{x+1}
[/mm]
[mm] =\bruch{A(x+1)+B(x+2)}{2+3x+x^2}
[/mm]
= 0=(A+B)
A=B (1)
1= A+2B
A=1-2B (2)
(2) in (1)
B=1
--> A=-1
[mm] \integral_{0}^{2}{\bruch{1}{2+3x+2^2} dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{2}{\bruch{-1}{x+2} +\bruch{1}{x+1} dx}
[/mm]
= [mm] -\integral_{0}^{2}{\bruch{1}{x+2}dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{2}{\bruch{1}{x+1} dx}
[/mm]
= -1* ln|x+2| + ln|x+1|
und das ist jetzt die Stammfunktion?
jetzt müsste ich also nur noch die Integralgrenzen für x einsetzen und den Flächeninhalt berechnen?
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Jupp absolut richtig, einsetzen und fertig.
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