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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:54 Do 07.05.2009 | | Autor: | Noops |
Kann mir jemand helfen?
Legen Sie an folgende Funktion Tangenten, die durch den Koordinatenursprung gehen. Ermitteln Sie die Gleichung der Tangenten und ihre Steigungswinkel.
f(x) = [mm] x^2 [/mm] - 2x + 4
Wie ist das zu lösen?
m = f'(x) = x
weiter komme ich nicht mehr, da die Gleichung [mm] x^2 [/mm] - 2x + 4 gar nicht lösbar ist!
Danke für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:16 Do 07.05.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Kann mir jemand helfen?
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> Legen Sie an folgende Funktion Tangenten, die durch den
> Koordinatenursprung gehen. Ermitteln Sie die Gleichung der
> Tangenten und ihre Steigungswinkel.
>
> f(x) = [mm]x^2[/mm] - 2x + 4
>
> Wie ist das zu lösen?
>
> m = f'(x) = x
>
> weiter komme ich nicht mehr,
das ist falsch. Es ist [mm] $f\!\,'(x)=2x-2\,.$
[/mm]
> da die Gleichung [mm]x^2[/mm] - 2x + 4
> gar nicht lösbar ist!
Das macht keinen Sinn, da [mm] $x^2-2x+4$ [/mm] überhaupt keine Gleichung ist. Mache folgendes:
Ist [mm] $(x_0,y_0) \in \text{graph}f\,,$ [/mm] so gilt:
Ist [mm] $t\,$ [/mm] eine Funktion, deren Graph die Tangente durch [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] am Graphen von [mm] $f\,$ [/mm] beschreibt, so wird [mm] $\text{graph}t\,$ [/mm] als Gerade im [mm] $\IR^2$ [/mm] durch eine Funktionsgleichung der Art $t(x)=m*x+b$ beschrieben (genauer: $t: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit $t(x)=m*x+b$ ($x [mm] \in \IR$), [/mm] wobei $m,b [mm] \in \IR$ [/mm] fest und hier noch genauer zu bestimmen). Hierbei ist [mm] $m=f\!\,'(x_0)$ [/mm] und es soll [mm] $t(x_0)=y_0$ [/mm] sein. Da wegen [mm] $(x_0,y_0) \in \text{graph}f$ [/mm] nun [mm] $y_0=f(x_0)$ [/mm] gelten muss, erhalten wir somit als Tangentengleichung
$$t: [mm] \IR \to \IR \text{ mit }t(x)=f\!\,'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\;\;\;(x \in \IR)\,.$$
[/mm]
Um die Abhängigkeit der Funktion [mm] $t\,$ [/mm] von dem Parameter [mm] $x_0$ [/mm] zu verdeutlichen, würde ich nun anstatt [mm] $t\,$ [/mm] oben [mm] $t_{x_0}$ [/mm] schreiben:
[mm] $$t_{x_0}: \IR \to \IR \text{ mit } t_{x_0}(x)=f\!\,'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\;\;\;(x \in \IR)\,.$$
[/mm]
Gesucht sind nun [mm] $x_0 \in \IR\,,$ [/mm] so dass $(0,0) [mm] \in \text{graph}t_{x_0}\,.$ [/mm] Es sollen also [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] gefunden werden, so dass [mm] $t_{x_0}(0)=0\,.$ [/mm] Mit anderen Worten:
Es sind [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] zu finden, so dass
[mm] $$f\!\,'(x_0)(0-x_0)+f(x_0)=0$$
[/mm]
bzw.
[mm] $$x_0*f\!\,'(x_0)=f(x_0)\,,$$
[/mm]
bzw. wegen [mm] $f(x_0)=x_0^2-2x_0+4\,$ [/mm] und [mm] $f\!\,'(x_0)=2x_0-2$ [/mm] sind also [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] zu finden, so dass
[mm] $$x_0*(2x_0-2)=x_0^2-2x_0+4\,.$$
[/mm]
Die letzte Gleichung ist also noch nach [mm] $x_0$ [/mm] aufzulösen (linke Seite ausmultiplizieren und dann nach [mm] $x_0$ [/mm] sortieren), und somit solltest Du zwei Tangenten erhalten.
P.S.:
Zur Kontrolle:
Tangenten wie in der Aufgabe gesucht findet man genau für [mm] $x_0 \in \{-2,\,2\}\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Do 07.05.2009 | | Autor: | Noops |
Das gibt [mm] 2x0^2 [/mm] - 2x0 = [mm] x0^2 [/mm] - 2x0 + 4 ausgerechnet
[mm] x0^2 [/mm] = 4
x0 = [mm] \wurzel{4}
[/mm]
x0 = 2
Das Resultat wäre aber +2 / -6
Wie kommt er auf dieses Resultat?
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Hallo,
du hast die Gleichung zu lösen:
[mm] x_0^{2}-2x_0+4=2x_0^{2}-2x_0
[/mm]
[mm] x_0^{2}=4
[/mm]
[mm] x_0_1=2 [/mm] und
[mm] x_0_2=-2
[/mm]
das sind die Stellen, an denen die Tangenten die Parabel berühren, jetzt ist f(-2) und f(2) zu berechnen, somit hast du für jede Tangente zwei Punkte:
Tangente 1: (2;f(2)) und (0;0)
Tangente 2: (-2;f(-2)) und (0;0)
die Tangenten genügen der Gleichung y=mx, berechne jeweils m, du erkennst dann, woher 2 und -6 kommen,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Do 07.05.2009 | | Autor: | Noops |
Super ihr habt mir echt geholfen.
Zum Schluss noch. Bei f`(x) = 2x-2 multiplizierts du das noch mit x0 damit die Gleichung [mm] 2x0^2-2x0=x0^2-2x0+4 [/mm] ergibt. Ist das wegen der Nullstelle? x0 ist ja (0/0) oder nicht? Ich denke doch x0 ist der Punkt 0 auf der x-Achse!
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Hallo, du hast die Parabel und die Gerade(n), deine Tangente(n), die werden gleichgesetzt, die Gerade hat die Form m*x+n, wobei ja n=0 ist, sie verläuft ja durch den Koordinatenursprung, m ist der Anstieg, also die 1. Ableitung die ja 2x-2 lautet, die Berührung findet an der Stelle [mm] x_0 [/mm] statt
[mm] x_0^{2}-2x_0+4=m*x_0
[/mm]
[mm] x_0^{2}-2x_0+4=(2x_0-2)*x_0
[/mm]
[mm] x_0^{2}-2x_0+4=2x_0^{2}-2x_0
[/mm]
Steffi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:21 Do 07.05.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Super ihr habt mir echt geholfen.
>
> Zum Schluss noch. Bei f'(x) = 2x-2 multiplizierts du das
> noch mit x0 damit
?? Es steht doch alles hier:
> die Gleichung [mm]2x0^2-2x0=x0^2-2x0+4[/mm]
> ergibt.
Die Gleichung [mm] $2x_0^2-2x_0=x_0^2-2x_0+4$ [/mm] resultierte aus der Gleichung [mm] $x_0*f\!\,'(x_0)=f(x_0)$, [/mm] welche sich aus der Bedingung [mm] $t_{x_0}(0)=0$ [/mm] ergab. Das steht alles in obigem Link. Also:
Skizze, und das ganze bitte nochmal mit der Skizze nachvollziehen!
> Ist das wegen der Nullstelle? x0 ist ja (0/0) oder
> nicht? Ich denke doch x0 ist der Punkt 0 auf der x-Achse!
Wie gesagt: Das ganze folgte so:
Die Gleichung der Tangente durch [mm] $(x_0,y_0)=(x_0,f(x_0))$ [/mm] des Graphens von [mm] $f\,$ [/mm] war allgemein gegeben durch
[mm] $$t_{x_0}(x)=f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)\,.$$
[/mm]
Aus der Bedingung [mm] $t_{x_0}(0)=0$ [/mm] folgt dann durch einsetzen
[mm] $$f'(x_0)*(-x_0)+f(x_0)=0$$
[/mm]
bzw.
[mm] $$f(x_0)=x_0*f'(x_0)\,.$$
[/mm]
Jetzt wurde dort nur noch [mm] $f(x_0)$ [/mm] und [mm] $f'(x_0)$ [/mm] konkret eingesetzt:
[mm] $$\underbrace{x_0^2-2x_0+4}_{=f(x_0)}=x_0*(\underbrace{2x_0-2}_{=f'(x_0)})\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:34 Do 07.05.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das gibt [mm]2x0^2[/mm] - 2x0 = [mm]x0^2[/mm] - 2x0 + 4 ausgerechnet
>
> [mm]x0^2[/mm] = 4
> x0 = [mm]\wurzel{4}[/mm]
diese Folgerung ist so nicht korrekt! Aus [mm] $x_0^2=4$ [/mm] folgt [mm] $x_0=\pm\sqrt{4}=\pm 2\,.$
[/mm]
(denn: [mm] $x_0^2-4=0$ $\gdw$ $(x_0+2)*(x_0-2)=0$ $\gdw$ $x_0=\pm [/mm] 2$).
Nun nochmal zurück zur Aufgabe:
Das, was Steffi nun sagte, drücke ich nun anders aus:
Laut Aufgabenstellung erhälst Du nun genau zwei Funktionsgleichungen, also natürlich je eine für die jeweilige Tangente (es gibt also genau zwei Tangenten, die die gewünschte Eigenschaften haben!), nämlich
[mm] $$t_{-2}(x)=f\!\,'(-2)*x$$
[/mm]
und
[mm] $$t_2(x)=f\!\,'(2)*x\,.$$
[/mm]
Um die jeweilige Tangentengleichung anzugeben, hast Du nun also noch [mm] $f\!\,'(-2)$ [/mm] bzw. [mm] $f\!\,'(2)$ [/mm] dort einzusetzen.
(Erinnerung: [mm] $f\!\,'(x)=2x-2$.)
[/mm]
Um den jeweiligen Steigungswinkel [mm] $\alpha_{x_0}$ [/mm] anzugeben, benutze dann noch [mm] $\tan(\alpha_{x_0})=f\!\,'(x_0)\,.$
[/mm]
P.S.:
Mal ein Tipp für Dich:
Mache Dir bitte mal eine Skizze für die Aufgabe. Dabei kannst Du ruhig auch den Graphen von [mm] $f(x)=x^2-2x+4=(x-1)^2+3$ [/mm] möglichst präzise zeichnen!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:27 Fr 08.05.2009 | | Autor: | Noops |
So ich habe jetzt die Tangente und die Parabel aufgezeichnet. Doch die berühren sich nie :-( Wenn ich zb. x=1 in die Gleichung [mm] x^2 [/mm] - 2x + 4 einsetzte gibt das ja 3!
Die Parabel berührt die x-Achse gar nicht. Wenn ich den Graphen mit dem Taschenrechner zeichne würde es hinkommen, denn der zeichnet mir den Schnittpunkt auf die x-Achse. Der Fehler wird also bei mir liegen :-(
Die errechneten Punkte der Tangente sind ja P1(-2/-6) und P2(2/2) oder nicht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:46 Fr 08.05.2009 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, du hast die Berührstellen -2 und 2, dein Fehler liegt in f(-2)=12 und f(2)=4, sicherlich Vorzeichenfehler, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 Fr 08.05.2009 | | Autor: | Noops |
Du meinst x= -2 und y= 2 ??
y1 = 2x - 2 = 2
y2 = 2x - 2 = -6
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Hallo, achte ganz sauber auf die Formulierungen
an den Stellen [mm] x_1=-2 [/mm] und [mm] x_2=2 [/mm] berühren die beiden Tangenten jeweils die Parabel,
die Berührpunkte sind [mm] P_1(-2;12) [/mm] und [mm] P_2(2;4)
[/mm]
die Anstiege der Tangenten sind f'(-2)=-6 und f'(2)=2
die Gleichungen der Tangenten sind [mm] f_t_1(x)=-6x [/mm] und [mm] f_t_2(x)=2x
[/mm]
so sieht alles aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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