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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Mo 26.05.2008 | | Autor: | n0rdi |
| Aufgabe | | Gegeben sei ein Dreieck durch A(-2|2|1), B(-4|-1|-5) und C(-2|5|5). Berechne den Flächeninhalt und daraus die Längen der Höhen [mm] h_b [/mm] und [mm] h_c. [/mm] |
So der Flächeninhalt ist eig. doch ganz einfach. zuerst beechne ich die Kantenvektoren (2 reichen hier ja, ich nehme Vektor AB und Vektor CA wegen den späteren höhen!)
so diese rechne ich aus und dann kann ich die doch einfach mit dem Vektorprodukt kreuzen und dieses dann halbieren wegen dem dreieck.
richtig?
So bei den Höhen habe ich nun was anderes raus als unser Lehrer.
Ich habe einfach den jeweiligen Vektor umgekehrt mit einem Vorzeichenwechsel, damit ich den Normlenvektor raus habe. So nun kann ich diesen doch mit dem Punkt C oder B verbinden und die Gerade rausmachen? dann diese mit der Kanteseite schneiden und den Abstand zwischen beiden punkten ausrechnen? Aber unser Lehrer meinte, es gilt eine Formel zur Berechnung des Abstandes (welche weiß ich nun nicht^^) nur im R3 bei Ebenen und R2 bei Geraden?
Danke für euer bemühen und Rat schon einmal im Voraus
Mfg
Nordi
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> Gegeben sei ein Dreieck durch A(-2|2|1), B(-4|-1|-5) und
> C(-2|5|5). Berechne den Flächeninhalt und daraus die Längen
> der Höhen [mm]h_b[/mm] und [mm]h_c.[/mm]
> So der Flächeninhalt ist eig. doch ganz einfach. zuerst
> beechne ich die Kantenvektoren (2 reichen hier ja, ich
> nehme Vektor AB und Vektor CA wegen den späteren höhen!)
> so diese rechne ich aus und dann kann ich die doch einfach
> mit dem Vektorprodukt kreuzen und dieses dann halbieren
> wegen dem dreieck.
> richtig?
ich weiss, was du meinst - man könnte es etwas besser formulieren...
> So bei den Höhen habe ich nun was anderes raus als unser
> Lehrer.
> Ich habe einfach den jeweiligen Vektor umgekehrt mit einem
> Vorzeichenwechsel, damit ich den Normlenvektor raus habe.
hier scheint mir, dass du etwas aus der Geometrie in der Ebene
in den [mm] \IR^3 [/mm] übernehmen willst, was so nicht geht !
> So nun kann ich diesen doch mit dem Punkt C oder B
> verbinden und die Gerade rausmachen? dann diese mit der
> Kanteseite schneiden und den Abstand zwischen beiden
> punkten ausrechnen? Aber unser Lehrer meinte, es gilt eine
> Formel zur Berechnung des Abstandes (welche weiß ich nun
> nicht^^) nur im R3 bei Ebenen und R2 bei Geraden?
Es geht einfacher als du denkst und einfacher als aus dem
Hinweis des Lehrers hervorgeht. Denk' doch einfach an die
ganz simple planimetrische Flächenformel für Dreiecke !
Wenn du Vektorprodukte berechnen kannst, dann sicher
auch etwa die Länge c = [mm] |\overrightarrow{AB}| [/mm] der Dreiecksseite AB !
Gruß al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Mo 26.05.2008 | | Autor: | n0rdi |
> > Gegeben sei ein Dreieck durch A(-2|2|1), B(-4|-1|-5) und
> > C(-2|5|5). Berechne den Flächeninhalt und daraus die Längen
> > der Höhen [mm]h_b[/mm] und [mm]h_c.[/mm]
> > So der Flächeninhalt ist eig. doch ganz einfach. zuerst
> > beechne ich die Kantenvektoren (2 reichen hier ja, ich
> > nehme Vektor AB und Vektor CA wegen den späteren höhen!)
> > so diese rechne ich aus und dann kann ich die doch
> einfach
> > mit dem Vektorprodukt kreuzen und dieses dann halbieren
> > wegen dem dreieck.
> > richtig?
>
> ich weiss, was du meinst - man könnte es etwas besser
> formulieren...
>
sorry ;) ist aber richtig oder (der flächeninhalt)?
> > So bei den Höhen habe ich nun was anderes raus als unser
> > Lehrer.
> > Ich habe einfach den jeweiligen Vektor umgekehrt mit
> einem
> > Vorzeichenwechsel, damit ich den Normlenvektor raus habe.
>
> hier scheint mir, dass du etwas aus der Geometrie in der
> Ebene
> in den [mm]\IR^3[/mm] übernehmen willst, was so nicht geht !
Kann ich keinen Normalenvektor oder Lotvektor bilden wenn ich 2 der 3 Zahlen vertauschen und bei einem von diesem das vorzeichen wechsel. Die dritte zahl wird 0. So habe ich es im kopf :(
> > So nun kann ich diesen doch mit dem Punkt C oder B
> > verbinden und die Gerade rausmachen? dann diese mit der
> > Kanteseite schneiden und den Abstand zwischen beiden
> > punkten ausrechnen? Aber unser Lehrer meinte, es gilt eine
> > Formel zur Berechnung des Abstandes (welche weiß ich nun
> > nicht^^) nur im R3 bei Ebenen und R2 bei Geraden?
>
> Es geht einfacher als du denkst und einfacher als aus dem
> Hinweis des Lehrers hervorgeht. Denk' doch einfach an die
> ganz simple planimetrische Flächenformel für Dreiecke !
was für eine formel meinst du? ;)
> Wenn du Vektorprodukte berechnen kannst, dann sicher
> auch etwa die Länge c = [mm]|\overrightarrow{AB}|[/mm] der
> Dreiecksseite AB !
Ja klar kann ich die Länge der Seite berechnen, aber die brauche ich doch eigentlich bei der Berechnung der höhen nicht oder?
>
> Gruß al-Chwarizmi
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> > > Gegeben sei ein Dreieck durch A(-2|2|1), B(-4|-1|-5) und
> > > C(-2|5|5). Berechne den Flächeninhalt und daraus die Längen
> > > der Höhen [mm]h_b[/mm] und [mm]h_c.[/mm]
> > > So der Flächeninhalt ist eig. doch ganz einfach.
> zuerst
> > > beechne ich die Kantenvektoren (2 reichen hier ja, ich
> > > nehme Vektor AB und Vektor CA wegen den späteren höhen!)
> > > so diese rechne ich aus und dann kann ich die doch
> > einfach
> > > mit dem Vektorprodukt kreuzen und dieses dann halbieren
> > > wegen dem dreieck.
> > > richtig?
> >
> > ich weiss, was du meinst - man könnte es etwas besser
> > formulieren...
> >
>
> sorry ;) ist aber richtig oder (der flächeninhalt)?
man könnte die Formel hinschreiben: F = [mm] \bruch{1}{2}* |\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|
[/mm]
>
> > > So bei den Höhen habe ich nun was anderes raus als unser
> > > Lehrer.
> > > Ich habe einfach den jeweiligen Vektor umgekehrt mit
> > einem
> > > Vorzeichenwechsel, damit ich den Normlenvektor raus habe.
> >
> > hier scheint mir, dass du etwas aus der Geometrie in der
> > Ebene
> > in den [mm]\IR^3[/mm] übernehmen willst, was so nicht geht !
> Kann ich keinen Normalenvektor oder Lotvektor bilden wenn
> ich 2 der 3 Zahlen vertauschen und bei einem von diesem das
> vorzeichen wechsel. Die dritte zahl wird 0. So habe ich es
> im kopf :(
das ist eben das, was in der Ebene geht, aber im Raum keinen
Sinn macht:
der Vektor [mm] \vektor{5\\-2} [/mm] ist ein Normalenvektor zu [mm] \vektor{2\\5}
[/mm]
im Raum [mm] \IR^3 [/mm] gibt es aber z.B. zum Vektor [mm] \vektor{2\\5\\7}
[/mm]
Normalenvektoren, die in [mm] \infty [/mm] viele verschiedene Richtungen
zeigen. Herauszufinden, welcher davon sich wirklich als Richtungs-
vektor für eine Dreieckshöhe eignet, erfordert weitere Überlegungen.
> > > So nun kann ich diesen doch mit dem Punkt C oder B
> > > verbinden und die Gerade rausmachen? dann diese mit der
> > > Kanteseite schneiden und den Abstand zwischen beiden
> > > punkten ausrechnen? Aber unser Lehrer meinte, es gilt eine
> > > Formel zur Berechnung des Abstandes (welche weiß ich nun
> > > nicht^^) nur im R3 bei Ebenen und R2 bei Geraden?
Es geht einfacher als du denkst und einfacher als aus dem
Hinweis des Lehrers hervorgeht. Denk' doch einfach an
die ganz simple planimetrische Flächenformel für Dreiecke !
> was für eine formel meinst du? ;)
Fläche = [mm] \bruch{Grundlinie*Hoehe}{2}
[/mm]
Wenn du Vektorprodukte berechnen kannst, dann sicher
auch etwa die Länge c = [mm]|\overrightarrow{AB}|[/mm] der
Dreiecksseite AB !
> Ja klar kann ich die Länge der Seite berechnen, aber die
> brauche ich doch eigentlich bei der Berechnung der höhen
> nicht oder?
Wenn du die Fläche aber schon berechnet hast, ist das einfacher als alles andere !
Gruß al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Mo 26.05.2008 | | Autor: | n0rdi |
ja gut ich hab es nun so gemacht, indem ich den flächeninhalt berechnet habe und habe ich das vektorprodukt (a*h*sin(ß)) nach h augelöst und so kam ich auf die höhe, aber gibt es denn noch einen anderen weg ohne z.b. erst den flächeninhalt zu berechnen?
ja die weitere Überlegung kriege ich nicht hin bei dem normalenvektor einer Ebene :( das ist ja das doofe, der clou fehlt mir.
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Zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks ist der Weg
über das Vektorprodukt so etwa das einfachste, was man
überhaupt haben kann.
Wenn du es gerne etwas komplizierter magst, gibt es zum
Beispiel folgende Wege:
Berechne einen Winkel (z.B. [mm] \alpha) [/mm] des Dreiecks mittels
Skalarprodukt oder zum Beispiel Cosinussatz. Berechne
dann die Höhe [mm] h_c [/mm] = [mm] b*sin(\alpha) [/mm] und dann die Fläche
nach der gewohnten planimetrischen Formel.
oder:
Berechne zuerst alle Seitenlängen a,b,c des Dreiecks.
s sei der halbe Umfang des Dreiecks. Dann gilt die Formel
von Heron:
[mm]F = \wurzel{s*(s-a)*(s-b)*(s-c)}[/mm]
Es gäbe noch weitere Wege, die ich hier jetzt nicht aufführe.
Gruß Al-Chwarizmi
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