Ebenengleichung < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben sei im [mm] \IR^{3} [/mm] E: [mm] P(\alpha,\beta) [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] \alpha \vektor{1 \\ 2 \\ 0 } +\beta \vektor{1 \\ 0 \\ 1 }
[/mm]
a) Es sei X die zu parallele Ebene durch den Punkt A = [mm] (-4,2,2)^{T}. [/mm] Bestimmen Sie eine Ebenengleichung von X.
b) Welcher Punkt B der Ebene X besitzt den kleinsten Abstand zum Punkt A und wie groß ist dieser? |
zu Frage a)
kann ich einfach den Punkt A in die Gleichung einsetzen so dass ich
[mm] -4x_{1} [/mm] = -1 [mm] +1\alpha [/mm] + [mm] 1\beta
[/mm]
[mm] 2x_{2} [/mm] = 1 + [mm] 2\alpha
[/mm]
[mm] 2x_{3} [/mm] = 1 + [mm] 1\beta [/mm]
einsetze. Im nächsten Schritt [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] wegkürze und dann als Ebenengleichung [mm] 8x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{2} [/mm] + [mm] 4x_{3} [/mm] = 5 herausbekomme?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Di 20.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei im [mm]\IR^{3}[/mm] E: [mm]P(\alpha,\beta)[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> + [mm]\alpha \vektor{1 \\ 2 \\ 0 } +\beta \vektor{1 \\ 0 \\ 1 }[/mm]
>
> a) Es sei X die zu parallele Ebene durch den Punkt A =
> [mm](-4,2,2)^{T}.[/mm] Bestimmen Sie eine Ebenengleichung von X.
>
> b) Welcher Punkt B der Ebene X besitzt den kleinsten
> Abstand zum Punkt A und wie groß ist dieser?
> zu Frage a)
>
> kann ich einfach den Punkt A in die Gleichung einsetzen so
> dass ich
>
> [mm]-4x_{1}[/mm] = -1 [mm]+1\alpha[/mm] + [mm]1\beta[/mm]
> [mm]2x_{2}[/mm] = 1 + [mm]2\alpha[/mm]
> [mm]2x_{3}[/mm] = 1 + [mm]1\beta[/mm]
>
> einsetze.
Was Du da machst kann ich nicht nachvollziehen !
X ist doch parallel zu E, hat also die gleichen Richtungsvektoren wie E, und geht durch A = $ [mm] (-4,2,2)^{T}. [/mm] $
Hilft das ?
FRED
> Im nächsten Schritt [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] wegkürze
> und dann als Ebenengleichung [mm]8x_{1}[/mm] + [mm]2x_{2}[/mm] + [mm]4x_{3}[/mm] = 5
> herausbekomme?
|
|
|
| |
|
hmmm.... das hilft mir auch nich wirklich weiter.
Kann ich einfach den Punkt A für den Vektor (-1,1,1) einsetzen?
Meine Ebenengleichung muss doch die Form [mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = ... haben. Oder liege ich vollkommen falsch?
oh man... ich hasse Vektorrechnung.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Di 20.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> hmmm.... das hilft mir auch nich wirklich weiter.
> Kann ich einfach den Punkt A für den Vektor (-1,1,1)
> einsetzen?
Klar. Die Ebene X hat dann die Gleichung
$ [mm] X(\alpha,\beta) [/mm] $ = $ [mm] \vektor{-4 \\ 2 \\ 2} [/mm] $ + $ [mm] \alpha \vektor{1 \\ 2 \\ 0 } +\beta \vektor{1 \\ 0 \\ 1 } [/mm] $
> Meine Ebenengleichung muss doch die Form [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm]
> + [mm]x_{3}[/mm] = ... haben.
Wer sagt das ?
FRED
> Oder liege ich vollkommen falsch?
>
> oh man... ich hasse Vektorrechnung.
|
|
|
| |
|
muss ich nicht eine Gleichung der Ebene angeben? [mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm]
+ [mm] x_{3} [/mm] = ...
Indem so rechne wie oben?
Wie gehe ich nun bei Frage b) vor?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 Di 20.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> muss ich nicht eine Gleichung der Ebene angeben? [mm]x_{1}[/mm]
> + [mm]x_{2}[/mm]
> + [mm]x_{3}[/mm] = ...
Du meinst eine Gl. der Form
[mm]ax_{1}[/mm] + [mm]bx_{2}[/mm] +[mm]cx_{3}[/mm] = d
?
Gib sie an, wenn sie verlangt ist.
> Indem so rechne wie oben?
> Wie gehe ich nun bei Frage b) vor?
Bist Du sicher, dass Du b) richtig abgetippt hast ? A liegt doch auf X ! Der gesuchte Punkt B = A und der Abstand = 0
FRED
|
|
|
| |
|
oh je..... hattest Recht Tippfehler.
b) welcher Punkt B der Ebene "E" besitzt den kleinsten Abstand zum
Punkt A und wie groß ist dieser Abstand?
Zudem soll ich auch noch zeigen, dass die Punkte A, B, C = [mm] (-3,0,4)^{T} [/mm] ein gleichschenkliges Dreieck bilden.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:05 Di 20.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Melli!
> b) welcher Punkt B der Ebene "E" besitzt den kleinsten
> Abstand zum
> Punkt A und wie groß ist dieser Abstand?
Bestimme hier zunächst die Lotgerade auf "E" durch den Punkt A.
Der Schnittpunkt mit "E" ist der gesuchte Punkt mit dem geringsten Abstand.
> Zudem soll ich auch noch zeigen, dass die Punkte A, B, C =
> [mm](-3,0,4)^{T}[/mm] ein gleichschenkliges Dreieck bilden.
Bestimme die drei Längen des Dreieckes und vergleiche.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Hallo ....
Die Gleichung der Ebene E lauet in Parameterform
(-1,1,1) + s(2,1,-1) +t(2,-1,0)
dann bilde ich den Vektor n, der mir den Richtungsvektor der Lotgeraden liefert
(2,1,-1) x (2,-1,0) = (-2,-2,-4)
also (x,y,z,) = (-4,2,2) + t(-2,-2,-4)
ist das soweit richtig?
Welches nun der Punkt B ist weiß ich aber leider immer noch nicht. Kann es mir leider auch nicht bildlich vorstellen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:42 Mi 21.04.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Dein Normalenvektor [mm] \vec{n}=\vektor{-2\\-2\\-4} [/mm] ist so falsch, da er nicht senkrecht auf den Spannvektoren der Ebene steht. Da hast du dich wahrscheinlich beim Kreuzprodukt verrechnet.
Was du jetzt bildlich hast:
Du hast eine Hilfsgerade [mm] g:\vec{c}=\vec{a}+\lambda*\vec{n} [/mm] konstruiert, die durch den Punkt A geht (daher der Stützvektor [mm] \vec{a} [/mm] ) und von da aus senkrecht auf die Ebene "herabfällt" (der Richtungsvektor [mm] \vec{n} [/mm] ist da der Normalenvektor von E)
Wenn du den Schnittpunkt von E und g bestimmst, hast du den Punkt auf der Ebene gefunden, der den geringsten Abstand zu A hat.
Marius
|
|
|
|
