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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 So 17.07.2011 | | Autor: | paula_88 |
Hallo an alle,
ich habe mal ein paar allgemeine Fragen zu gewissen Eigeschaften von Matrizen.
Z.B. wenn ich überprüfen will ob eine Matrix invertierbar ist, dann gucke ich, ob die Determinante der Matrix ungleich 0 ist.
Solche "Tricks" benötige ich noch für andere Eigenschaften, ich hoffe dass ihr mir helfen könnt:
(Ich habe mir bereits die passenden Definitionen angeguckt, verstehe diese aber nicht ganz, sodass ich Folgendes einer Matrix nicht zuordnen könnte)
1) Wenn man überprüft ob eine Matrix Zeilenäquivalent zu einer anderen ist, muss man doch nur durch Zeilenoperationen gucken, ob irgendwann Matrix A=Matrix B ist oder? Und wie kann ich überprüfen ob 2 Matrizen äquivalent sind? was ist der Unterschied zu Zeilenäquivalent?
2) Wenn ich überprüfen will, ob eine Matrix orthogonal ist, dann überprüfe ich, ob [mm] A\cdot^{T}A=Einheitsmatrix [/mm] ist, oder?
Die Definition von unitär ist ähnlich, ich verstehe aber nicht den Unterschied zwischen orthogonal und unitär und somit kann ich auch nicht bestimmen ob eine Matrix unitär ist.??
3) Eine Matrix ist doch hermitesch, wenn die Matrix ihrer adjungierten Matrix gleich, oder? Das Problem ist, dass ich nicht verstehe, was die adjungierte Matrix zu einer Matrix ist.?? (Auch hier kenne ich die Definition, aber vllt könnte es mir jemand in Worten erklären bitte?)
4) Und meine letzte Frage ist, wenn ich eine quadratische Form habe, z.B. [mm] q(x,y,z)=x^{2}-4xy-y^{2}+4xy-z^{2}, [/mm] wie kann ich diese in eine Matrix umformen, oder die dazugehörige Matrix aufstellen? Ich habe nichtmehr viel Zeit um dies zu verstehen, könnte mir es jemand vielleicht einfach langsam an einem Beispiel erklären? 
Vielen Dank für eure Hilfe im Voraus
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> Hallo an alle,
> ich habe mal ein paar allgemeine Fragen zu gewissen
> Eigeschaften von Matrizen.
>
> Z.B. wenn ich überprüfen will ob eine Matrix invertierbar
> ist, dann gucke ich, ob die Determinante der Matrix
> ungleich 0 ist.
>
> Solche "Tricks" benötige ich noch für andere
Ab das jetzt ein Trick ist?
> Eigenschaften, ich hoffe dass ihr mir helfen könnt:
> (Ich habe mir bereits die passenden Definitionen
> angeguckt, verstehe diese aber nicht ganz, sodass ich
> Folgendes einer Matrix nicht zuordnen könnte)
>
> 1) Wenn man überprüft ob eine Matrix Zeilenäquivalent zu
> einer anderen ist, muss man doch nur durch
> Zeilenoperationen gucken, ob irgendwann Matrix A=Matrix B
> ist oder? Und wie kann ich überprüfen ob 2 Matrizen
> äquivalent sind? was ist der Unterschied zu
> Zeilenäquivalent?
Kommt drauf an, wie ihr es definiert habt. Wenn ihr gesagt habt, dass A und B Zeilenäquivalent sind :<=> Es gibt Elementarmetrizen [mm]E_i[/mm] mit [mm]E_k*\ldots*E_1A=B[/mm]. Dann bringst du die Matrizen A und B auf reduzierte Zeilenstufenform durch Zeilenoperationen.
Sind beide red. Zeilenstufenformen gleich => Zeilenäquivalenz.
Bei äquivalenten Matrizen musst du auch noch Spaltenoperationen für den Test durchführen.
[mm]\pmat{ 1 & 2&3 \\
0&1&2\\
0&0&0 } ,\pmat{ 1 & 1&0 \\
0&1&2\\
0&0&0 }[/mm] sind nicht zeilenäquivalent
jedoch merkst du durch gleiche Spaltenumformung auf beiden Matrizen, dass beide äquivalent sind.
>
> 2) Wenn ich überprüfen will, ob eine Matrix orthogonal
> ist, dann überprüfe ich, ob [mm]A\cdot^{T}A=Einheitsmatrix[/mm]
> ist, oder?
> Die Definition von unitär ist ähnlich, ich verstehe aber
> nicht den Unterschied zwischen orthogonal und unitär und
> somit kann ich auch nicht bestimmen ob eine Matrix unitär
> ist.??
Was verstehst du nicht? Schreib uns deine Definition hin. Bekommst du das komplex konjugieren nicht hin?
>
> 3) Eine Matrix ist doch hermitesch, wenn die Matrix ihrer
> adjungierten Matrix gleich, oder? Das Problem ist, dass ich
Wenn die adjungierte Matrix die "kransponierte und komplex konjugierte Matrix ist", dann schon
> nicht verstehe, was die adjungierte Matrix zu einer Matrix
> ist.?? (Auch hier kenne ich die Definition, aber vllt
> könnte es mir jemand in Worten erklären bitte?)
A -> transp -> kompl. konj.
[mm]\pmat{ 1 & i \\
1 & 1 } \rightsquigarrow \pmat{ 1 & 1 \\
i & 1 }\rightsquigarrow \pmat{ 1 & 1 \\
-i & 1 }[/mm]
A ist nicht hermitesch, da die linke ungleich der letzten Rechten ist. Schreib dir ne Matrix hin tranponiere sie und führe die kompl. Konjugation der Einträge durch.
>
> 4) Und meine letzte Frage ist, wenn ich eine quadratische
> Form habe, z.B. [mm]q(x,y,z)=x^{2}-4xy-y^{2}+4xy-z^{2}\blue{=x^{2}-y^{2}-z^{2}}[/mm] (kürzen!) wie
> kann ich diese in eine Matrix umformen, oder die
> dazugehörige Matrix aufstellen? Ich habe nichtmehr viel
> Zeit um dies zu verstehen, könnte mir es jemand vielleicht
> einfach langsam an einem Beispiel erklären?
schreib die Koeffizienten an die entsprechende Stelle in der Matrix
[mm]\pmat{ x^2 & \frac{1}{2}xy&\frac{1}{2}xz \\
\frac{1}{2} yx & y^2&\frac{1}{2}yz\\
\frac{1}{2}zx&\frac{1}{2}zy&z^2 } [/mm]
z.B.
[mm]q(x,y,z)=\red{1}*{x}^{2}+\blue{4}\,xy+\green{6}\,xz+1*{y}^{2}+{\color{RawSienna}2}*\,yz+{\color{RubineRed}1} }*{z}^{2}[/mm]
Dann
[mm]\pmat{ \red{1} & \frac{1}{2}\blue{4}&\frac{1}{2}\green{6} \\
\frac{1}{2} \blue{4} & 1&\frac{1}{2}{\color{RawSienna}2}\\
\frac{1}{2}\green{6} &\frac{1}{2}{\color{RawSienna}2}&{\color{RubineRed}1} } [/mm]
Bitte beim nächsten Mal an konkreten Beispielen...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 So 17.07.2011 | | Autor: | paula_88 |
Vielen Dank für die ausführliche Antwort.
Kann ich beim Umformen quadratischer Gleichungen zu Matrizen immer nach diesem Schema gehen?
[mm]\pmat{ x^2 & \frac{1}{2}xy&\frac{1}{2}xz \\
\frac{1}{2} yx & y^2&\frac{1}{2}yz\\
\frac{1}{2}zx&\frac{1}{2}zy&z^2 }[/mm]
Wie wäre es dann für:
[mm] q(x,y,z)=x^{2}-y^{2}-z^{2}?
[/mm]
Ich habe ja nur Koeffizienten für [mm] x^{2},y^{2} [/mm] und [mm] z^{2}, [/mm] sprich für die Diagonaleinträge. Wäre die zugehörige Matrix dann die Einheitsmatrix oder errechne ich anhand dessen dass ich jetzt weiß dass x/y/z=1 sind die restlichen Einträge, wie [mm] \frac{1}{2}xy=0,5 [/mm] und setze die in die Matrix an die Stelle ein? (Ist klar was ich meine? )
Viele Grüße Paula
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> Vielen Dank für die ausführliche Antwort.
>
> Kann ich beim Umformen quadratischer Gleichungen zu
> Matrizen immer nach diesem Schema gehen?
Ja im 3-dim Fall.
> [mm]\pmat{ x^2 & \frac{1}{2}xy&\frac{1}{2}xz \\
\frac{1}{2} yx & y^2&\frac{1}{2}yz\\
\frac{1}{2}zx&\frac{1}{2}zy&z^2 }[/mm]
Wie wärs, wenn du mal [mm]\pmat{x&y&z}\left( \begin {array}{ccc} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{12}&a_{22}&a_{23}\\
a_{13}&a_{23}&a_{33}\end {array} \right) \vektor{x \\
y\\
z}[/mm] ausrechnest.
>
> Wie wäre es dann für:
> [mm]q(x,y,z)=x^{2}-y^{2}-z^{2}?[/mm]
>
> Ich habe ja nur Koeffizienten für [mm]x^{2},y^{2}[/mm] und [mm]z^{2},[/mm]
> sprich für die Diagonaleinträge. Wäre die zugehörige
> Matrix dann die Einheitsmatrix oder errechne ich anhand
Du hast doch
[mm]q(x,y,z)=\red{1*}x^{2}+\blue{(-1)}y^{2}+\green{(-1)}z^{2} + {\color{RawSienna}0*xy+0*xz+0*yz}[/mm]
> dessen dass ich jetzt weiß dass x/y/z=1 sind die
Nein. Achte auf die Vorzeichen!
> restlichen Einträge, wie [mm]\frac{1}{2}xy=0,5[/mm] und setze die
> in die Matrix an die Stelle ein? (Ist klar was ich meine?
> )
>
> Viele Grüße Paula
>
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