End. und Minimalpolynom < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:14 So 29.04.2007 | | Autor: | alexmart |
| Aufgabe | Es sei [mm] \phi [/mm] ein Endomorphismus eines endlich-dimensionalen K-Vektorraumes V [mm] \not= [/mm] {0}, und [mm] m_{\phi} [/mm] bezeichne das Minimalpolynom von [mm] \phi [/mm] in K[x]. Ferner sei g [mm] \varepsilon [/mm] K[x] gegeben.
Zeigen Sie:
(a) Ist g teilerfrem zu [mm] m_{\phi}, [/mm] so ist [mm] g(\phi) [/mm] invertierbar.
(b) Ist [mm] g(\phi) [/mm] invertierbar, so ist auch [mm] h(\phi) [/mm] invertierbar für jedes h [mm] \varepsilon [/mm] K[x] mit h | g.
(c) Ist [mm] g(\phi) [/mm] invertierbar, so ist g teilerfremd zu [mm] m_{\phi}. [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich sitze gerade an meinem Matheblatt, was ich Montag abgeben muss. Leider habe ich bei der obigen Aufgabe Probleme, weil ich keinerlei Idee habe wie ich das zeigen soll.
Vielleicht gibt es hier ja Jemanden der einem Informatiker helfen möchte.
Vielen Dank im Voraus!
Mit freundlichen Grüßen
Alexander
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:51 So 29.04.2007 | | Autor: | statler |
Hallo Alexander!
> Es sei [mm]\phi[/mm] ein Endomorphismus eines endlich-dimensionalen
> K-Vektorraumes V [mm]\not=[/mm] {0}, und [mm]m_{\phi}[/mm] bezeichne das
> Minimalpolynom von [mm]\phi[/mm] in K[x]. Ferner sei g [mm]\varepsilon[/mm]
> K[x] gegeben.
>
> Zeigen Sie:
> (a) Ist g teilerfrem zu [mm]m_{\phi},[/mm] so ist [mm]g(\phi)[/mm]
> invertierbar.
Ganz fix zu a):
Bei Teilerfremdheit kannst du 1 darstellen als Linarkombination von Minimalpolynom und g (über den euklidischen Algorithmus in Polynomringen) Wenn du in diese Darstellung [mm] \phi [/mm] einsetzt, erhältst du sofort a).
Guß aus HH-Harburg
Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:53 So 29.04.2007 | | Autor: | felixf |
> Es sei [mm]\phi[/mm] ein Endomorphismus eines endlich-dimensionalen
> K-Vektorraumes V [mm]\not=[/mm] {0}, und [mm]m_{\phi}[/mm] bezeichne das
> Minimalpolynom von [mm]\phi[/mm] in K[x]. Ferner sei g [mm]\varepsilon[/mm]
> K[x] gegeben.
>
> Zeigen Sie:
> (a) Ist g teilerfrem zu [mm]m_{\phi},[/mm] so ist [mm]g(\phi)[/mm]
> invertierbar.
>
> (b) Ist [mm]g(\phi)[/mm] invertierbar, so ist auch [mm]h(\phi)[/mm]
> invertierbar für jedes h [mm]\varepsilon[/mm] K[x] mit h | g.
Wenn $h [mm] \mid [/mm] g$ gilt, so ist $g = h [mm] \tilde{h}$ [/mm] fuer ein [mm] $\tilde{h} \in [/mm] K[x]$, und es ist [mm] $h(\phi) \tilde{h}(\phi) [/mm] = [mm] g(\phi)$ [/mm] invertierbar. Damit ist [mm] $h(\phi) [\tilde{h}(\phi) g(\phi)^{-1}] [/mm] = [mm] id_V$. [/mm] Analog kannst du noch ein Linksinverses von [mm] $h(\phi)$ [/mm] finden.
> (c) Ist [mm]g(\phi)[/mm] invertierbar, so ist g teilerfremd zu
> [mm]m_{\phi}.[/mm]
Das geht ganz einfach, wenn du dir die Jordan-Normalform anschaust und die Beziehung des Minimalpolynoms dazu. Wenn $g$ und [mm] $m_\phi$ [/mm] nicht teilerfremd sind, gibt es einen gemeinsamen Teiler $h$. Nach (b) ist [mm] $h(\phi)$ [/mm] invertierbar.
Wenn $h$ jedoch ein nicht-konstanter Teiler des Minimalpolynoms ist, so kann [mm] $h(\phi)$ [/mm] nicht invertierbar sein. Ueberleg dir mal warum das so ist.
LG Felix
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