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Hallo,
ich habe eine Ellipse, von der ich ausschließlich die Länge dreier Durchmesser kenne, die jeweils 45° auseinander sind. Wie kann ich daraus den Flächeninhalt der Ellipse bestimmen? Ist das überhaupt analytisch möglich?
Mein bisheriger Versuch: Die drei Durchmesser in die Ellipsengleichung in Polarkoordinaten eingesetzt:
r = [mm] b/\wurzel(1-\varepsilon^2*\cos^2\varphi)).
[/mm]
Dann habe ich ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten (kleine Halbachse b, Exzentrizität [mm] \varepsilon [/mm] und Drehwinkel [mm] \varphi_0 [/mm] gegenüber der x-Achse), das ich aber nicht gelöst bekomme:
[mm] d_1/2 [/mm] = [mm] b/\wurzel(1-\varepsilon^2*\cos^2\varphi_0))
[/mm]
[mm] d_2/2 [/mm] = [mm] b/\wurzel(1-\varepsilon^2/2*(\cos\varphi_0+\sin\varphi_0)^2))
[/mm]
[mm] d_3/2 [/mm] = [mm] b/\wurzel(1-\varepsilon^2*\sin^2\varphi_0))
[/mm]
Dabei habe ich schon verwendet, dass [mm] \cos(\varphi_0+90°) [/mm] = [mm] -\sin(\varphi_0) [/mm] etc.
Für Hinweise dankt
Stephan.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
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> ich habe eine Ellipse, von der ich ausschließlich die
> Länge dreier Durchmesser kenne, die jeweils 45°
> auseinander sind. Wie kann ich daraus den Flächeninhalt
> der Ellipse bestimmen? Ist das überhaupt analytisch
> möglich?
>
> Mein bisheriger Versuch: Die drei Durchmesser in die
> Ellipsengleichung in Polarkoordinaten eingesetzt:
> r = [mm]b/\wurzel(1-\varepsilon^2*\cos^2\varphi)).[/mm]
>
> Dann habe ich ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und
> drei Unbekannten (kleine Halbachse b, Exzentrizität
> [mm]\varepsilon[/mm] und Drehwinkel [mm]\varphi_0[/mm] gegenüber der
> x-Achse), das ich aber nicht gelöst bekomme:
> [mm]d_1/2[/mm] = [mm]b/\wurzel(1-\varepsilon^2*\cos^2\varphi_0))[/mm]
> [mm]d_2/2[/mm] =
> [mm]b/\wurzel(1-\varepsilon^2/2*(\cos\varphi_0+\sin\varphi_0)^2))[/mm]
> [mm]d_3/2[/mm] = [mm]b/\wurzel(1-\varepsilon^2*\sin^2\varphi_0))[/mm]
> Dabei habe ich schon verwendet, dass [mm]\cos(\varphi_0+90°)[/mm]
> = [mm]-\sin(\varphi_0)[/mm] etc.
>
> Für Hinweise dankt
> Stephan.
Hallo Stephan,
wenn du die drei Durchmesser durch den Nullpunkt O
eines Koordinatensystems legst, markieren ihre End-
punkte 6 Ellipsenpunkte. Da ein beliebiger Kegelschnitt
schon durch 5 seiner Punkte festgelegt ist, muss die
Aufgabe jedenfalls lösbar sein. Eine Ellipse mit Mittelpunkt
O(0|0) hat in rechtwinkligen Koordinaten eine Gleichung
der Form
$\ [mm] A*x^2+B*y^2+C*x*y+1=0$ [/mm] (mit $\ A*B>0$)
Die Koeffizienten A,B,C zu berechnen bedeutet ein
lineares Gleichungssystem zu lösen. Anschließend
kann man Hauptachsentransformation machen.
Im Prinzip sollte dein trigonometrischer Ansatz aber
auch funktionieren.
LG Al-Chw.
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> Hallo,
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> ich habe eine Ellipse, von der ich ausschließlich die
> Länge dreier Durchmesser kenne, die jeweils 45°
> auseinander sind. Wie kann ich daraus den Flächeninhalt
> der Ellipse bestimmen? Ist das überhaupt analytisch
> möglich?
Hallo Stephan,
ich habe versucht, eine Formel zur Berechnung der
Ellipsenfläche aufzustellen. Als geschlossene Formel
würde sie sehr kompliziert, deshalb gebe ich statt-
dessen einen Algorithmus an.
Seien $\ r, s, t$ die drei Ellipsenradien in richtiger
Reihenfolge (also [mm] r\perp{t} [/mm] und $\ s$ auf der Winkelhalbie-
renden zwischen r und t). Dann berechne man:
$\ [mm] R:=\frac{1}{r^2}$ [/mm] $\ [mm] S:=\frac{1}{s^2}$ [/mm] $\ [mm] T:=\frac{1}{t^2}$
[/mm]
$\ [mm] K:=S-\frac{R+T}{2}$
[/mm]
$\ [mm] F:=\frac{\pi}{\sqrt{R*T-K^2}}$
[/mm]
F ist der Flächeninhalt der Ellipse.
Die Herleitung war (erwartungsgemäß) ziemlich
umständlich, und ich habe mir nicht alle Schritte
sauber notiert. Das Ergebnis habe ich aber recht
gründlich getestet ...
LG Al-Chwarizmi
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> Hallo,
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> ich habe eine Ellipse, von der ich ausschließlich die
> Länge dreier Durchmesser kenne, die jeweils 45°
> auseinander sind. Wie kann ich daraus den Flächeninhalt
> der Ellipse bestimmen? Ist das überhaupt analytisch
> möglich?
>
> Mein bisheriger Versuch: Die drei Durchmesser in die
> Ellipsengleichung in Polarkoordinaten eingesetzt:
> r = [mm]b/\wurzel(1-\varepsilon^2*\cos^2\varphi)).[/mm]
>
> Dann habe ich ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und
> drei Unbekannten (kleine Halbachse b, Exzentrizität
> [mm]\varepsilon[/mm] und Drehwinkel [mm]\varphi_0[/mm] gegenüber der
> x-Achse), das ich aber nicht gelöst bekomme:
> [mm]d_1/2\ =\ b/\wurzel(1-\varepsilon^2*\cos^2\varphi_0))[/mm]
> [mm]d_2/2\ =\ b/\wurzel(1-\varepsilon^2/2*(\cos\varphi_0+\sin\varphi_0)^2))[/mm]
> [mm]d_3/2\ =\ b/\wurzel(1-\varepsilon^2*\sin^2\varphi_0))[/mm]
> Dabei habe ich schon verwendet, dass [mm]\cos(\varphi_0+90°)[/mm]
> = [mm]-\sin(\varphi_0)[/mm] etc.
>
> Für Hinweise dankt
> Stephan.
Hi Stephan,
ich habe mir jetzt deinen trigonometrischen Weg auch noch
angeschaut. Ich vermute, dass bei deiner zweiten Gleichung
etwas nicht ganz stimmt.
Für meinen Lösungsweg habe ich die Abkürzungen [mm] r_i:=\frac{d_i}{2} [/mm] ,
[mm] Q:=\varepsilon^2 [/mm] und [mm] c:=cos(\varphi_0) [/mm] verwendet und kam auf
folgende Gleichungen:
(1) $\ [mm] Q*c^2\ [/mm] =\ [mm] 1-\left(\frac{b}{r_1}\right)^2$
[/mm]
(2) $\ [mm] \frac{Q}{2}*\left(1-2*c*\sqrt{1-c^2}\right)\ [/mm] =\ [mm] 1-\left(\frac{b}{r_2}\right)^2$
[/mm]
(3) $\ [mm] Q*(1-c^2)\ [/mm] =\ [mm] 1-\left(\frac{b}{r_3}\right)^2$
[/mm]
Bei gegebenen Werten der Radien [mm] r_i [/mm] lassen sich daraus
b, c und Q und daraus auch [mm] \varepsilon [/mm] , a und der Flächen-
inhalt der Ellipse berechnen.
Es scheint, dass du nur im Term [mm] \wurzel(1-\varepsilon^2/2*(\cos\varphi_0\red{+}\sin\varphi_0)^2))
[/mm]
ein falsches Vorzeichen hattest.
LG Al-Chw.
Nachbemerkung:
Möglicherweise hast du nicht einmal einen Fehler gemacht.
Numerisch bin ich auch von deiner Gleichung aus zum
korrekten Ergebnis gekommen. Das kann sein, weil man
bei der Wahl des Drehwinkels, der die Ellipse in axiale
Lage bringt, eine Wahlfreiheit hat.
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Hallo Al-Chwarizmi,
vielen Dank für die ausführlichen Antworten!! Sorry, dass ich erst jetzt reagiere. Der erste Hinweis hat mir schon viel weiter geholfen. Damit bin ich dann auch auf die Lösung gekommen, die du in deiner zweiten Antwort nennst. Das war auch viel einfacher als der trigonometrische Ansatz :) Danke nochmal!
Gruß,
Stephan.
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