Funktionenfolge punktw. / glm. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sind die beiden Funktionenfolgen:
[mm] $f_{n}(x) [/mm] = [mm] \sin\left(\frac{1}{n}*x\right)$, x\in[-\pi,\pi]
[/mm]
[mm] $g_{n}(x) [/mm] = [mm] n*x*(1-x)^{n}$, x\in[0,1]
[/mm]
Bestimmen sie den punktweisen Limes! Überprüfen Sie die gleichmäßige Konvergenz mit Hilfe des Mittelwertsatzes! |
Hallo!
Zunächst war ich mir schon ein wenig unsicher bei meinen Grenzfunktionen:
$f(x) = 0$, [mm] x\in[-\pi,\pi]
[/mm]
(Da das Argument im Sinus für jedes [mm] x\in[-\pi,\pi] [/mm] gegen 0 geht, und da Sinus in 0 stetig, geht der ganze Term gegen sin(0) = 0).
$g(x) = 0$, [mm] x\in[0,1]
[/mm]
(In den Spezialfällen x = 1 und x = 0 ist [mm] g_{n}(x) [/mm] = 0 für alle [mm] n\in\IN; [/mm] für [mm] x\in(0,1) [/mm] ist |1-x| < 1, und die geometrische "Folge" [mm] (1-x)^{n} [/mm] geht wesentlich schneller gegen 0 als die Folge n*x)
Stimmt das?
Gleichmäßige Konvergenz: a)
Für die gleichmäßige Konvergenz muss ich nun zeigen, dass für jedes [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] N\in\IN [/mm] existiert, so dass für alle [mm] x\in[-\pi,\pi] [/mm] und für alle n > N gilt:
[mm] $|f_{n}(x)-f(x)| [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Nun ist ja [mm] $|f_{n}(x)-f(x)| [/mm] = [mm] |\sin\left(\frac{1}{n}*x\right)|$. [/mm] Aber wie soll ich jetzt den Mittelwertsatz anwenden? Wenn ich zum Beispiel schreibe:
[mm] $|\sin\left(\frac{1}{n}*x\right)| [/mm] = [mm] \left|\frac{\sin\left(\frac{1}{n}*x\right)-\sin\left(\frac{1}{n}*0\right)}{x-0}\right|*|x|$
[/mm]
Könnte ich jetzt postulieren, dass ein [mm] \xi\in(0,x) [/mm] (falls x positiv, ansonsten (x,0)) existiert, so dass
[mm] $\left|\frac{\sin\left(\frac{1}{n}*x\right)-\sin\left(\frac{1}{n}*0\right)}{x-0}\right| [/mm] = [mm] f_{n}'(\xi) [/mm] = [mm] |\frac{1}{n}*\cos(\frac{1}{n}*x)|$,
[/mm]
also insgesamt:
[mm] $|\sin\left(\frac{1}{n}*x\right)| [/mm] = [mm] \frac{|x|}{n}*|\cos(\frac{1}{n}*x)|$
[/mm]
Aber ich glaube, ich bin auf der völlig falschen Fährte... oder ist nun der nächste Schritt:
[mm] $|\sin\left(\frac{1}{n}*x\right)| [/mm] = [mm] \frac{|x|}{n}*|\cos(\frac{1}{n}*x)|\le \frac{\pi}{n} \to [/mm] 0$
Was genau muss ich mit dem Mittelwertsatz machen? Gibt es bei meiner obigen Variante nicht noch ein Problem mit x = 0?
Danke für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:25 Mi 20.01.2010 | | Autor: | pelzig |
Du hast schon genau die richtige Idee gehabt. Für jedes [mm] $x\in[-\pi,\pi]\setminus\{0\} [/mm] gibt es nach dem MWS ein [mm] $\xi\in[-\pi,\pi]$, [/mm] sodass [mm] $$\left|\sin\left(\frac{1}{n}\cdot x\right)\right|=\frac{|x|}{n}\left|\cos\left(\frac{1}{n}\cdot\xi\right)\right|\le \frac{\pi}{n}$$ [/mm] da [mm]|\cos(x)|\le1 [/mm] für alle [mm] $x\in\IR$. [/mm] Für $x=0$ gilt diese Ungleichung erst recht, also konvergieren die [mm] $f_n$ [/mm] gleichmäßig gegen die Nullfunktion.
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Hallo pelzig,
danke für deine Antwort!
> Du hast schon genau die richtige Idee gehabt. Für jedes
> [mm]$x\in[-\pi,\pi]\setminus\{0\}[/mm] gibt es nach dem MWS ein
> [mm]$\xi\in[-\pi,\pi]$,[/mm] sodass [mm]\left|\sin\left(\frac{1}{n}\cdot x\right)\right|=\frac{|x|}{n}\left|\cos\left(\frac{1}{n}\cdot\xi\right)\right|\le \frac{\pi}{n}[/mm]
> da [mm]|\cos(x)|\le1[/mm] für alle [mm]x\in\IR[/mm]. Für [mm]x=0[/mm] gilt diese
> Ungleichung erst recht, also konvergieren die [mm]f_n[/mm]
> gleichmäßig gegen die Nullfunktion.
Ich habe noch eine "formale" Frage.
Der Mittelwertsatz lautet: Ist [mm] $f:[a,b]\to\IR$ [/mm] eine stetige Funktion, die auf (a,b) differenzierbar ist. Dann existiert ein [mm] \xi\in(a,b), [/mm] so dass
[mm] $f'(\xi) [/mm] = [mm] \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
[/mm]
Wenn ich jetzt den Satz anwende, muss ich ja strenggenommen die Funktion [mm] f_{n}(x) [/mm] = [mm] \sin(\frac{1}{n}*x) [/mm] erst einmal auf ihrem Definitionsbereich einschränken, für die Abschätzung verwende ich ja a = 0, b = x (falls x > 0), und dann erhalte ich, dass ein [mm] \xi\in(0,x) [/mm] existiert, so dass
[mm] $f_{n}'(\xi) [/mm] = [mm] \frac{f_{n}(x)-f_{n}(0)}{x-0}$;
[/mm]
bzw. ich verwende a = x, b = 0 (falls x < 0), und dann erhalte ich, dass ein [mm] \xi\in(x,0) [/mm] existiert, so dass
[mm] $f_{n}'(\xi) [/mm] = [mm] \frac{f_{n}(0)-f_{n}(x)}{0-x} [/mm] = [mm] \frac{f_{n}(x)-f_{n}(0)}{x-0}$.
[/mm]
Wäre das erstmal die "formale" Herangehensweise?
Daraus könnte ich nun folgern: Für beliebiges [mm] $x\in[-\pi,\pi]\textbackslash\{0\}$ [/mm] existiert ein [mm] $\xi\in[-\pi,\pi]$, [/mm] sodass
[mm] $f_{n}'(\xi) [/mm] = [mm] \frac{f_{n}(x)-f_{n}(0)}{x-0}$
[/mm]
gilt, oder?
Danke für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:07 Do 21.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo pelzig,
>
> danke für deine Antwort!
>
> > Du hast schon genau die richtige Idee gehabt. Für jedes
> > [mm]$x\in[-\pi,\pi]\setminus\{0\}[/mm] gibt es nach dem MWS ein
> > [mm]$\xi\in[-\pi,\pi]$,[/mm] sodass [mm]\left|\sin\left(\frac{1}{n}\cdot x\right)\right|=\frac{|x|}{n}\left|\cos\left(\frac{1}{n}\cdot\xi\right)\right|\le \frac{\pi}{n}[/mm]
> > da [mm]|\cos(x)|\le1[/mm] für alle [mm]x\in\IR[/mm]. Für [mm]x=0[/mm] gilt diese
> > Ungleichung erst recht, also konvergieren die [mm]f_n[/mm]
> > gleichmäßig gegen die Nullfunktion.
>
> Ich habe noch eine "formale" Frage.
> Der Mittelwertsatz lautet: Ist [mm]f:[a,b]\to\IR[/mm] eine stetige
> Funktion, die auf (a,b) differenzierbar ist. Dann existiert
> ein [mm]\xi\in(a,b),[/mm] so dass
>
> [mm]f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}[/mm].
>
> Wenn ich jetzt den Satz anwende, muss ich ja strenggenommen
> die Funktion [mm]f_{n}(x)[/mm] = [mm]\sin(\frac{1}{n}*x)[/mm] erst einmal auf
> ihrem Definitionsbereich einschränken, für die
> Abschätzung verwende ich ja a = 0, b = x (falls x > 0),
> und dann erhalte ich, dass ein [mm]\xi\in(0,x)[/mm] existiert, so
> dass
>
> [mm]f_{n}'(\xi) = \frac{f_{n}(x)-f_{n}(0)}{x-0}[/mm];
>
> bzw. ich verwende a = x, b = 0 (falls x < 0), und dann
> erhalte ich, dass ein [mm]\xi\in(x,0)[/mm] existiert, so dass
>
> [mm]f_{n}'(\xi) = \frac{f_{n}(0)-f_{n}(x)}{0-x} = \frac{f_{n}(x)-f_{n}(0)}{x-0}[/mm].
>
> Wäre das erstmal die "formale" Herangehensweise?
> Daraus könnte ich nun folgern: Für beliebiges
> [mm]x\in[-\pi,\pi]\textbackslash\{0\}[/mm] existiert ein
> [mm]\xi\in[-\pi,\pi][/mm], sodass
>
> [mm]f_{n}'(\xi) = \frac{f_{n}(x)-f_{n}(0)}{x-0}[/mm]
>
> gilt, oder?
Hallo Stefan,
machs doch nicht so umständlich. Hast Du das nicht gelesen: https://matheraum.de/read?i=645027
FRED
>
> Danke für Eure Hilfe!
> Grüße,
> Stefan
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Hallo Fred,
> Hallo Stefan,
>
> machs doch nicht so umständlich. Hast Du das nicht
> gelesen: https://matheraum.de/read?i=645027
Doch, das habe ich schon gelesen 
Also:
[mm] $|\sin(t)|\le|t|$ [/mm] für alle [mm] $t\in\IR$.
[/mm]
Aber auch das muss ja irgendwie bewiesen werden. Und da geht man doch so vor, oder:
Für $t [mm] \not= [/mm] 0$:
[mm] $|\sin(t)| [/mm] = [mm] \left|\frac{\sin(t)-\sin(0)}{t-0}\right|*|t| [/mm] = [mm] |\cos(\xi)|*|t| \le [/mm] |t|$.
Für $t = 0$ gilt ohnehin [mm] $|\sin(t)| [/mm] = 0 = |t|$.
Richtig?
Mein Problem oben lag aber in der Anwendung des Mittelwertsatzes. Gerade eben habe ich es wieder einfach gemacht, aber theoretisch ist das [mm] \xi [/mm] doch jetzt in (0,x) bzw. (x,0) (je nachdem, ob x größer oder kleiner 0). Worauf ich hinauswill: Ich muss für x > 0 und für x < 0 zweimal separat den Mittelwertsatz anwenden? (Ich meine nur rein formal)
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 Do 21.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > Hallo Stefan,
> >
> > machs doch nicht so umständlich. Hast Du das nicht
> > gelesen: https://matheraum.de/read?i=645027
>
> Doch, das habe ich schon gelesen
> Also:
>
> [mm]|\sin(t)|\le|t|[/mm] für alle [mm]t\in\IR[/mm].
>
> Aber auch das muss ja irgendwie bewiesen werden. Und da
> geht man doch so vor, oder:
>
> Für [mm]t \not= 0[/mm]:
>
> [mm]|\sin(t)| = \left|\frac{\sin(t)-\sin(0)}{t-0}\right|*|t| = |\cos(\xi)|*|t| \le |t|[/mm].
>
> Für [mm]t = 0[/mm] gilt ohnehin [mm]|\sin(t)| = 0 = |t|[/mm].
> Richtig?
Ja.
>
> Mein Problem oben lag aber in der Anwendung des
> Mittelwertsatzes. Gerade eben habe ich es wieder einfach
> gemacht, aber theoretisch ist das [mm]\xi[/mm] doch jetzt in (0,x)
> bzw. (x,0) (je nachdem, ob x größer oder kleiner 0).
> Worauf ich hinauswill: Ich muss für x > 0 und für x < 0
> zweimal separat den Mittelwertsatz anwenden? (Ich meine nur
> rein formal)
Nein. Stell Dir mal vor, Du weißt nur, dass $a [mm] \not=b$ [/mm] ist. Der Mittelwertsatz sagt: es gibt ein [mm] \xi [/mm] zwischen a und b mit:
$a [mm] \not= \xi, [/mm] b [mm] \not= \xi$ [/mm] und $f(b) -f(a)= [mm] f'(\xi)*(b-a)$
[/mm]
FRED
>
> Grüße,
> Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:35 Do 21.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Nur eine kleine Bemmerkung: mit dem MWS kann man zeigen, dass allgemein gilt:
$|sin(t)| [mm] \le [/mm] |t|$ für jedes $t [mm] \in \IR$.
[/mm]
Eine Ungleichung, die man immer mal wieder brauchen kann.
Die Folge [mm] (g_n) [/mm] ist nicht glm. konvergent auf [0,1]
FRED
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Hallo Fred,
Danke für deine Antwort auch hier !
> Die Folge [mm](g_n)[/mm] ist nicht glm. konvergent auf [0,1]
Die Vermutung habe ich heute bei näherem "Untersuchen" auch bekommen. Es war ja
[mm] $g_{n}(x) [/mm] = [mm] n*x*(1-x)^{n}$,
[/mm]
und die punktweise Grenzfunktion ist $g(x) = 0$. Das Problem ist aber, dass wenn da nicht noch der Faktor "x" stünde, würde die Funktion bei x = 0 gar nicht konvergieren. Das macht sich dann bei der gleichmäßigen Konvergenz bemerkbar...
Für x, die nahe bei 0 sind, müssen die n von x abhängig sein, weil sich [mm] (1-x)^{n} [/mm] nur durch "1" nach oben abschätzen lässt - eine Abschätzung, die nichts bringt.
Allerdings komme ich jetzt mit dem konkreten Widerlegen nicht so richtig vorwärts.
Ich muss zeigen: [mm] \exists \varepsilon [/mm] > 0 : [mm] \forall N\in\IN : \exists [/mm] n > N exists [mm] x\in[0,1]:
[/mm]
[mm] $|g_{n}(x) [/mm] - g(x)| = [mm] g_{n}(x) [/mm] = [mm] n*x*(1-x)^{n} [/mm] > [mm] \varepsilon$
[/mm]
ist. Ich dachte, ich wähle [mm] $\varepsilon [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$, [/mm] und dann muss [mm] $N\in\IN$ [/mm] nun beliebig sein. Aber wegen dem Aufbau von [mm] g_{n}(x) [/mm] komme ich nicht so recht zu Rande... Muss ich vielleicht wieder den Mittelwertsatz benutzen?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 Do 21.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Betrachte doch mal die Folge $(g(1/n))$
Wenn die keine Nullfolge ist, so ist nix mit gleichmäßiger Konvergenz
FRED
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Hallo Fred,
danke für deine Antwort!
Ja, dann steht da: [mm] $g_{n}\left(\frac{1}{n}\right) [/mm] = [mm] \left(1+\frac{(-1)}{n}\right)^{n}\to\frac{1}{e}\not= [/mm] 0$, was schlecht ist.
Ich habe nun aber noch ein Problem. Das, was du mir gerade vorgeschlagen hast, hat irgendwie nicht so richtig etwas mit der Definition zu tun, die wir gelernt haben. Ich weiß aber, dass es wohl richtig ist, weil auch in unserem Skript öfter mal dieses Argument auftaucht, dass man sich einfach eine Folge [mm] x_{n} [/mm] wählt und mit dieser dann zeigt, dass [mm] $g_{n}(x_{n})\not\to g(x_{n})$.
[/mm]
Könntest du (oder jemand anderes ) mir erklären, wieso genau das jetzt ein Widerspruch zur gleichmäßigen Konvergenz(-definition) ist?
Oder kennt ihr eine Seite im Internet, auf der ich mir das klar machen kann?
Danke!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:44 Do 21.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Angnommen, die Konvergenz wäre glm. Ist dann [mm] \epsilon [/mm] >0 und < 1/e, so gibt es ein N mit
[mm] |g_n(x)| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] für jedes x in [0,1] und jedes n> N
Also auch [mm] |g_n(1/n)| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] für jedes n> N
Dann ( mit n [mm] \to \infty): [/mm] 1/e [mm] \le \epsilon [/mm] < 1/e, Widerspruch
FRED
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Hallo Fred,
danke für deine Antwort!
Jetzt kann ich es besser nachvollziehen
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Sa 23.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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