Gamma Funktion < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:38 Do 06.12.2007 | | Autor: | gandhito |
| Aufgabe | | Compute the following integral using the gamma function! |
[mm] I=\integral_{0}^{\infty}{x^{n} e^{-mx} dx}, [/mm] m >0
Gamma Function: f(a)= [mm] \integral_{o}^{\infty}{ x^{a-1} e^{-x} dx}, [/mm] a [mm] \in \IR, [/mm] where f(a)= (a-1)f(a-1)
Wie löse ich das am einfachsten? Partielle Integration? Habe leider keine Lösung. Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:30 Fr 07.12.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin gandhito,
Setze $t=mx$, $x=t/m$, $dt/dx=m$. Dann ist
[mm] \begin{matrix}
\int_0^\infty x^n\exp(-mx)\, dx &=& \int_0^\infty(t/m)^n\exp(-t)(1/m)\, dt\\
&=&\frac{1}{m^{n+1}}\int_0^\infty t^{(n+1)-1}\exp(-t)\, dt\\
&=&\frac{1}{m^{n+1}}f(n+1)\\
&=&\frac{n+1}{m^{n+1}}f(n)
\end{matrix}
[/mm]
lg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Sa 08.12.2007 | | Autor: | gandhito |
Danke Luis. Habs mal nachgerechnet. Kriege aber am Schluss im Nenner nur ein n und nicht ein 1 + n. Kann das sein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Sa 08.12.2007 | | Autor: | Blech |
> Danke Luis. Habs mal nachgerechnet. Kriege aber am Schluss
> im Nenner nur ein n und nicht ein 1 + n. Kann das sein?
Wenn Du den Exponenten des Nenners meinst, dann hast Du wahrscheinlich vergessen, daß:
dt/dx=m
dt/m=dx
Da kommt das n+1-te m her.
Wenn Du den Zähler meinst, dann hast Du recht, da hat sich luis vertan.
[mm] $\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$ [/mm] =)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:15 Sa 08.12.2007 | | Autor: | luis52 |
Danke blech, du hast Recht.
lg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:46 Sa 08.12.2007 | | Autor: | gandhito |
Hab den Zähler gemeint. Jetzt is mir alles klar. Danke
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