Gleichheit von Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:24 Di 09.10.2007 | | Autor: | Schalk |
| Aufgabe | Beweisen Sie, dass folgende Abbildungen gleich sind.
1. f: [mm] \IN \to \IN [/mm] , f(n) = [mm] \summe_{i=1}^{n} 2^{i-1} [/mm] für alle n [mm] \in \IN, [/mm] und g: [mm] \IN \to \IN [/mm] , g(n) = [mm] 2^{n} [/mm] - 1 für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
2. [mm] \IN \to \IN [/mm] , f(n) = [mm] \summe_{i=1}^{n} i^{3} [/mm] für alle n [mm] \in \IN, [/mm] und g: [mm] \IN \to \IN [/mm] , g(n) = [mm] \bruch{n^{2} (n + 1)^{2}}{4} [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] |
Um die Gleichheit der Abbildungen zu beweisen, bediene ich mich der vollständigen Induktion.
Zu 1.)
Zu zeigen ist, dass
(Voraussetzung) [mm] \summe_{i=1}^{n} 2^{i-1} [/mm] = [mm] 2^{n} [/mm] - 1
Induktionsanfang: n =1
Dies ergibt in beiden Fällen 1.
Induktionsschritt:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} 2^{i-1} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} 2^{i-1} [/mm] + [mm] 2^{n+1-1}
[/mm]
= [mm] 2^{n} [/mm] - 1 + [mm] 2^{n+1-1} [/mm] (nach Voraussetzung)
[mm] 2^{n} [/mm] -1 + [mm] 2^{n}
[/mm]
und an dieser Stelle bin ich wohl zu blöd... 
zu 2.)
Vorausetzung: [mm] \summe_{i=1}^{n} i^{3} [/mm] = [mm] \bruch{n^{2} (n + 1)^{2}}{4}
[/mm]
Induktionsanfang: n = 1
Daraus ergibt sich f(1) = 1 und auch g(1) = 1
Induktionsschritt:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} i^{3} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} i^{3} [/mm] + [mm] (n+1)^{3}
[/mm]
= [mm] \bruch{n^{2} (n + 1)^{2}}{4} [/mm] + [mm] \bruch{4 (n+1) (n+1)^{2}}{4} [/mm] (nach Voraussetzung)
= [mm] \bruch{n^{2} (n+1)^{2} + 4 (n+1) (n+1)^{2}}{4}
[/mm]
= [mm] \bruch{n^{4} + 6 n^{3} + 13 n^{2} + 12 n + 4}{4}
[/mm]
= [mm] \bruch{(n+1)^{2} (n + 2)^{2}}{4}
[/mm]
Vielen Dank für Eure Hilfe!!!
Schäne Grüße
Schalk
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> Beweisen Sie, dass folgende Abbildungen gleich sind.
>
> 1. f: [mm]\IN \to \IN[/mm] , f(n) = [mm]\summe_{i=1}^{n} 2^{i-1}[/mm] für
> alle n [mm]\in \IN,[/mm] und g: [mm]\IN \to \IN[/mm] , g(n) = [mm]2^{n}[/mm] - 1 für
> alle n [mm]\in \IN[/mm]
>
> 2. [mm]\IN \to \IN[/mm] , f(n) = [mm]\summe_{i=1}^{n} i^{3}[/mm] für alle n
> [mm]\in \IN,[/mm] und g: [mm]\IN \to \IN[/mm] , g(n) = [mm]\bruch{n^{2} (n + 1)^{2}}{4}[/mm]
> für alle n [mm]\in \IN[/mm]
> Um die Gleichheit der Abbildungen zu beweisen, bediene ich
> mich der vollständigen Induktion.
>
> Zu 1.)
>
> Zu zeigen ist, dass
>
> (Voraussetzung) [mm]\summe_{i=1}^{n} 2^{i-1}[/mm] = [mm]2^{n}[/mm] - 1
>
> Induktionsanfang: n =1
>
> Dies ergibt in beiden Fällen 1.
>
> Induktionsschritt:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1} 2^{i-1}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} 2^{i-1}[/mm] +
> [mm]2^{n+1-1}[/mm]
> = [mm]2^{n}[/mm] - 1 + [mm]2^{n+1-1}[/mm] (nach Voraussetzung)
> [mm]2^{n}[/mm] -1 + [mm]2^{n}[/mm]
>
> und an dieser Stelle bin ich wohl zu blöd...
Hallo,
vielleicht ein wenig blind...
[mm] ...=2*2^n-1= [/mm] ???
>
> zu 2.)
>
> Vorausetzung: [mm]\summe_{i=1}^{n} i^{3}[/mm] = [mm]\bruch{n^{2} (n + 1)^{2}}{4}[/mm]
>
> Induktionsanfang: n = 1
> Daraus ergibt sich f(1) = 1 und auch g(1) = 1
>
> Induktionsschritt:
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1} i^{3}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} i^{3}[/mm] +
> [mm](n+1)^{3}[/mm]
> = [mm]\bruch{n^{2} (n + 1)^{2}}{4}[/mm] + [mm]\bruch{4 (n+1) (n+1)^{2}}{4}[/mm]
> (nach Voraussetzung)
> = [mm]\bruch{n^{2} (n+1)^{2} + 4 (n+1) (n+1)^{2}}{4}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{n^{4} + 6 n^{3} + 13 n^{2} + 12 n + 4}{4}[/mm]
Dieses Auflösen der Klammern solltest Du Dir ersparen. Klammer lieber ganz zielstrebig [mm] (n+1)^2 [/mm] aus, das ist bequemer.
Gruß v. Angela
> =
> [mm]\bruch{(n+1)^{2} (n + 2)^{2}}{4}[/mm]
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