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Hallo zusammen,
ich beschäftige mich grad mit dem Index einer Untergruppe $H$ über einer Gruppe $G$.
Als Def. hatten wir: $|G~:~H|=|G~/~H|=|H ~ [mm] \backslash [/mm] ~G|$ mit $H [mm] \le [/mm] G$ Untergruppe.
Ist aber $G~/~H$ eig. nur dann sinnvoll wenn $H$ normal in $G$ ist? Ober wird das stillschweigend vorausgesetzt?
Danke!
lg Kai
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:01 Mo 14.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Kai!
> ich beschäftige mich grad mit dem Index einer Untergruppe
> [mm]H[/mm] über einer Gruppe [mm]G[/mm].
>
> Als Def. hatten wir: [mm]|G~:~H|=|G~/~H|=|H ~ \backslash ~G|[/mm]
> mit [mm]H \le G[/mm] Untergruppe.
>
> Ist aber [mm]G~/~H[/mm] eig. nur dann sinnvoll wenn [mm]H[/mm] normal in [mm]G[/mm]
> ist? Ober wird das stillschweigend vorausgesetzt?
Mit $G / H$ ist nicht die Quotientengruppe gemeint (die macht nur dann Sinn, wenn $H$ normal in $G$ ist), sondern die Menge der Rechtsnebenklassen von $G$ bzgl. $H$ (ebenso wie $H [mm] \backslash [/mm] G$ die Menge der Linksnebenklassen ist). Und diese Zahl gibt es immer, wenn $H$ eine Untergruppe ist. (Falls $H$ ein Normalteiler ist, dann ist alles eh das gleiche.)
LG Felix
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