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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:29 Sa 17.02.2007 | | Autor: | pisty |
| Aufgabe | | Berechnen Sie mit Hilfe eines Doppelintegrals der von den Kurven y=x, x*y=4 und x=4 begrenzten Fläche. |
Hallo,
ich habe mir die Kurben in ein Koordinatensystem gezeichnet.
ich komme dann zu folgende Grenzen.
[mm] \integral_{0}^{2}\integral_{0}^{x}{ ? dydx}
[/mm]
meine Frage ist jetzt: was setzte ich für das Fragezeichen ein? Eine 1?
vielen Dank
pisty
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:12 Sa 17.02.2007 | | Autor: | dhaehn |
Hallo,
generell gilt, man integriert dann schlicht über die 1.
Wenn Du dir den Bereich, über den Du integrieren sollst, ansiehst, kannst Du leicht feststellen, dass Deine Grenzen falsch sind.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten:
1. zuerst in y-Richtung
[mm] \integral_{2}^{4}\integral_{\bruch{4}{x}}^{x}{1 dydx}=-4ln(2)+6
[/mm]
Die untere Grenze für x erhälst Du, indem Du den Schnittpunkt von $xy=4$ und $x=y$ berechnest (einfach $x=4/y$ in $x=y$ einsetzen und dann kommt $4/y=y$, also [mm] $y^2=4$, [/mm] also $y=2$ raus).
2. zuerst in x-Richtung
Da in x-Richtung die untere Grenze nicht eindeutig ist, muss das Gebiet bei $y=2$ in zwei Teilgebiete aufgesplittet werden. Daraus resultieren 2 Integrale.
[mm] \integral_{1}^{2}\integral_{4/y}^{4}{1dxdy}+\integral_{2}^{4}\integral_{y}^{4}{1dxdy}=-4ln(2)+6
[/mm]
Die unteren Grenzen für y erhälst Du wieder durch gleichsetzen der sich schneidenden Geraden (s.o.).
Gruß
Daniel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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