www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "stochastische Analysis" - Ito Formel - kleine Aufgabe
Ito Formel - kleine Aufgabe < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "stochastische Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Ito Formel - kleine Aufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:34 Fr 17.03.2023
Autor: Jellal

Guten Abend,

nachdem ich gestern die Ito-Formel kennengelernt habe,
muss ich nun lernen, sie richtig zu benutzen.

Wir sind im 1-dim. Fall.
Das Buch benutzt die Notation Y(t):=u(X(t)), mit
dX = b(X(t))dt + [mm] \sigma(X(t)) [/mm] dW
und Ito-Lemma
du(X) = (u'b + [mm] \bruch{1}{2}u'')dt [/mm] + u'dW, wobei ' fuer [mm] \bruch{d}{dx} [/mm] steht.

Wir suchen nun die Funktion Y(t), welche die folgende SDE loest:
dY = Y dW,
Y(0)=1.

Die Loesung ist Y(t) = [mm] e^{-\bruch{t}{2} + W(t)}. [/mm]

Wie komme ich nun dahin?
Wenn ich dY=YdW mit der Ito-Formel vergleiche, bekomme ich
a) Y'=Y und
b) [mm] Y'b+\bruch{1}{2}Y'' [/mm] = 0.

Aus a) folgt Y(t) = [mm] Ae^{X(t)} [/mm] und A wird so gewaehlt, dass [mm] Y(0)=Ae^{X(0)}=1 [/mm] ist (wofuer wir aber erst X(t) brauchen).

Eingesetzt in b), mit Y'=Y''=Y und [mm] e^{x}>0 [/mm] fuer alle x, erhalten wir [mm] b=-\bruch{1}{2}. [/mm]

Daraus folgt X(t) = [mm] -\bruch{1}{2}t [/mm] + [mm] \hat{\sigma}(X(t))W(t), [/mm] wobei [mm] \hat{\sigma}(X(t)) [/mm] noch unbekannt ist.
Aber wegen X(0)=0 haben wir wenigstens schon A=1, also ist die Loesung
Y(t) = [mm] e^{-\bruch{1}{2}t + \hat{\sigma}(X(t))W(t)}. [/mm]

Woher weiß ich nun, dass [mm] \hat{\sigma}=1 [/mm] ist wie in der genannten Loesung? Irgendwie hat das [mm] \hat{\sigma} [/mm] doch sicher mit [mm] \sigma [/mm] in der Formel fuer dX zu tun, oder?

VG.



        
Bezug
Ito Formel - kleine Aufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:58 Sa 18.03.2023
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

vorweg: Du arbeitest schlampig und passt nicht auf!

> Wir sind im 1-dim. Fall.
>  Das Buch benutzt die Notation Y(t):=u(X(t)), mit
>  dX = b(X(t))dt + [mm]\sigma(X(t))[/mm] dW
> und Ito-Lemma
>  du(X) = (u'b + [mm]\bruch{1}{2}u'')dt[/mm] + u'dW, wobei ' fuer
> [mm]\bruch{d}{dx}[/mm] steht.

Das passt nicht zusammen.
Nach deiner Itô-Formel spielt das [mm] $\sigma$ [/mm] offensichtlich keine Rolle… da kann also was nicht stimmen.
Der Fehler liegt NICHT im Buch, sondern bei dir…

> Wir suchen nun die Funktion Y(t), welche die folgende SDE
> loest:
>  dY = Y dW,
> Y(0)=1.
>  
> Die Loesung ist Y(t) = [mm]e^{-\bruch{t}{2} + W(t)}.[/mm]
>  
> Wie komme ich nun dahin?
>  Wenn ich dY=YdW mit der Ito-Formel vergleiche, bekomme
> ich
>  a) Y'=Y und
>  b) [mm]Y'b+\bruch{1}{2}Y''[/mm] = 0.

Von der Idee her richtig, aber doch falsch…
Und auch das liegt daran, dass du nicht sauber aufgeschrieben hast.

Was soll $Y'$ denn sein? Es ist [mm] $Y_t [/mm] = [mm] u(X_t)$. [/mm] Wenn du das nun Ableiten würdest, erhieltest du etwas in der Art [mm] $u'(X_t)X'_t$ [/mm] und wir sind wieder beim Problem die Ableitung eines Zufallsprozesses bilden zu müssen… was soll $X'_t$ überhaupt sein??

Schreibe die Ito-Formel bitte sauber hin als $dY = [mm] \ldots$ [/mm] und vergleiche dann mit $dY = YdW$. Stelle beide Seiten nebeneinander und dann vergleiche die Integralbestandteile.

Poste das hier (sauberer Aufschrieb ist das A und O und dir wird dein Fehler dann selber auffallen!) und dann sehen wir weiter.

Gruß,
Gono



Bezug
                
Bezug
Ito Formel - kleine Aufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:49 Mi 22.03.2023
Autor: Jellal

Hi Gono,

sorry fuer die spaete Reaktion, war etwas abgelenkt von der Sache.

Nach deinem Rueffel habe ich nochmal nachgesehen, und tatsaechlich haben wir an der Stelle im Buch

dX = b(X)dt + dW,

sodass das [mm] \sigma [/mm] gar nicht auftaucht.

Außerdem sollte ich nicht Y' schreiben, sondern nur u' (weil Y ja nur eine Funktion von t ist, und man die Kettenregel braeuchte, wie du sagtest).

Also nochmal:
dX = b(X)dt + dW
Sei Y(t)=u(X(t)).
Ito Formel: dY=du=(u'b + [mm] \bruch{1}{2}u'')dt [/mm] +u'dW

SDE: dY=YdW, Y(0)=1.

Vergleich mit Ito liefert
u'b + [mm] \bruch{1}{2}u''=0 [/mm] (i)
und
u'=u (ii).

Aus (ii) folgt [mm] u(x)=Ae^{x}. [/mm]
Mit (i) und [mm] e^{x}>0 [/mm] folgt
[mm] b=-\bruch{1}{2}. [/mm]

Aus der Formel fuer dX folgt dann mit Integration
X(t) = [mm] -\bruch{1}{2}t [/mm] + W(t).

Aus der Anfangsbedingung folgt A=1.

So in Ordnung?

vG.

Bezug
                        
Bezug
Ito Formel - kleine Aufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:00 Mi 22.03.2023
Autor: Gonozal_IX

Hiho,


> Also nochmal:
>  dX = b(X)dt + dW
>  Sei Y(t)=u(X(t)).
>  Ito Formel: dY=du=(u'b + [mm]\bruch{1}{2}u'')dt[/mm] +u'dW
>  
> SDE: dY=YdW, Y(0)=1.
>  
> Vergleich mit Ito liefert
>  u'b + [mm]\bruch{1}{2}u''=0[/mm] (i)
>  und
>  u'=u (ii).

[ok]

> Aus (ii) folgt [mm]u(x)=Ae^{x}.[/mm]
>  Mit (i) und [mm]e^{x}>0[/mm] folgt
>  [mm]b=-\bruch{1}{2}.[/mm]

Nur wenn du hier bereits weißt, dass [mm] $A\not= [/mm] 0$ ist, was du aber erst später zeigst.
Es könnte (bisher) ja auch $A=0$ gelten, dann wäre b beliebig.

> Aus der Formel fuer dX folgt dann mit Integration
>  X(t) = [mm]-\bruch{1}{2}t[/mm] + W(t).
>  
> Aus der Anfangsbedingung folgt A=1.

[ok]
  

> So in Ordnung?

Prüfst du die Anfangsbedingung vor der Bestimmung von b, passt alles so.

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Ito Formel - kleine Aufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:37 Mi 22.03.2023
Autor: Jellal

Danke dir, Gono!!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "stochastische Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de