Kern bestimmen 2 < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 Mi 21.12.2011 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | | [mm] \delta=(-x_1+x_2+3x_4,-3x_2+2x_3,4x_2-x_4) [/mm] |
Halli Hallo,
und zwar habe ich mal was rumgerechnet und es kam was verblüffendes raus, was ich gerne einfach mal kontrolliert haben möchte:
-1 1 0 3 |0
0 -3 2 0 |0
0 4 0 -1 |0
Dann I und II wechselseitig addieren:
-1 1 0 3|0
0 1 2 -1|0
0 1 2 -1|0
Super eine kann man wegstreichen, weiter:
-1 1 0 3|0
0 1 2 -1|0
Wieder wechselseitig addieren dann bleibt da nurnoch eine einzige Gleichung:
-1 2 2 2|0 und somit kann man folgern das [mm] x_1=2x_2+2x_3+2x_4 [/mm] ist. Jetzt [mm] x_2, x_3 [/mm] und [mm] x_4 [/mm] ersetzten durch a, b und c und bekomme somit:
[mm] \vec{x}=a*\vektor{2 \\ 1\\0\\0}+b*\vektor{2 \\ 0\\1\\0}+c*\vektor{2 \\ 0\\0\\1}
[/mm]
Ist das bis dahin korrekt?
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Hallo durden88,
> [mm]\delta=(-x_1+x_2+3x_4,-3x_2+2x_3,4x_2-x_4)[/mm]
> Halli Hallo,
>
> und zwar habe ich mal was rumgerechnet und es kam was
> verblüffendes raus, was ich gerne einfach mal kontrolliert
> haben möchte:
>
> -1 1 0 3 |0
> 0 -3 2 0 |0
> 0 4 0 -1 |0
>
> Dann I und II wechselseitig addieren:
>
> -1 1 0 3|0
> 0 1 2 -1|0
> 0 1 2 -1|0
>
Hier muss entweder die 2. oder 3. Zeile stehen bleiben.
> Super eine kann man wegstreichen, weiter:
>
> -1 1 0 3|0
> 0 1 2 -1|0
>
> Wieder wechselseitig addieren dann bleibt da nurnoch eine
> einzige Gleichung:
>
> -1 2 2 2|0 und somit kann man folgern das
> [mm]x_1=2x_2+2x_3+2x_4[/mm] ist. Jetzt [mm]x_2, x_3[/mm] und [mm]x_4[/mm] ersetzten
> durch a, b und c und bekomme somit:
>
> [mm]\vec{x}=a*\vektor{2 \\ 1\\0\\0}+b*\vektor{2 \\ 0\\1\\0}+c*\vektor{2 \\ 0\\0\\1}[/mm]
>
> Ist das bis dahin korrekt?
Leider nicht.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Mi 21.12.2011 | | Autor: | durden88 |
Ok also ich soll merken: 2 oder 3 Zeile stehen lassen, damit ich zwei noch habe am Ende. Dankesehr :)
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Hallo durden88,
> Ok also ich soll merken: 2 oder 3 Zeile stehen lassen,
> damit ich zwei noch habe am Ende. Dankesehr :)
Wenn Du zur 3. Zeile die 2. Zeile addierst,
dann muss die 2. Zeile stehen bleiben.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Mi 21.12.2011 | | Autor: | durden88 |
Ok also ich haben dann noch folgende Gleichungen stehen:
-1 1 0 3 |0
0 1 2 -1 |0
Daraus folgt:
[mm] x_1=x_2+3x_4
[/mm]
[mm] x_3=-\bruch{1}{2}x_2+\bruch{1}{2}x_4
[/mm]
Setze [mm] x_2=a [/mm] und [mm] x_4=b
[/mm]
Dann bekommt man: [mm] \vec{x}= a*\vektor{1 \\ 1\\-\bruch{1}{2}\\0}+b*\vektor{3 \\ 0\\\bruch{1}{2}\\1}?
[/mm]
Danke!
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Hallo wo ist denn plötzlich deine 3. Zeile,
[mm] \pmat{ -1 & 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & -3 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & -1 & 0}
[/mm]
bilde eine neue 3. Zeile: 4 mal Zeile 2 plus 3 mal Zeile 3
[mm] \pmat{ -1 & 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & -3 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 8 & -3 & 0}
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:51 Sa 24.12.2011 | | Autor: | durden88 |
Ok und jetzt muss ich die 3. Zeile durch 3 nehmen oder? Dann bekomme ich:
-1 1 0 3 |0
0 -3 2 0 |0
0 0 2.667 -1 |0
heraus oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:14 Sa 24.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wozu soll das sein?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 Sa 24.12.2011 | | Autor: | durden88 |
Ich versteh einfach diesen Sinn dieser Aufgabe nicht. In der vorherigen Aufgabe mussten wir die Sachen so umformen, dass eine Gleichung ggf. wegfällt...Wann weiß ich denn, wann ich aufhören soll mit umformen? Und was ist mein Ziel, in der Vorherigen musste ich zwei Gleichungen haben, die von zwei Determinanten abhängig sind (z.B. [mm] x_2 [/mm] und [mm] x_3) [/mm] und dies ersetze ich dann durch ein a bzw. b....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Sa 24.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
den Sinn der Aufgabe entnimmt man dem Text der Aufgabe, den du uns vorenthalten hast?
ich nehme an, du sollst den Kern der Abb /delta finden? also die Vektoren , die durch /delta auf 0 abgebildet werden?
Was das mit den vorigen Aufgaben, die ich auch nicht kenne zu tun hat weiss ich nicht.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:01 Fr 30.12.2011 | | Autor: | durden88 |
> Hallo wo ist denn plötzlich deine 3. Zeile,
>
> [mm]\pmat{ -1 & 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & -3 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & -1 & 0}[/mm]
>
> bilde eine neue 3. Zeile: 4 mal Zeile 2 plus 3 mal Zeile 3
>
> [mm]\pmat{ -1 & 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & -3 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 8 & -3 & 0}[/mm]
>
> Steffi
>
Sodele, jetzt hab ich eine dritte Zeile, wobei die da lautet 0 0 8 -3. Ich bekomm aber scheinbar keine Zeile wirklich weggekürzt. In anderen Beiträgen habe ich gehört, wenn ich keine Zeile weggekürzt bekomme dann ist es nur der triviale Nullvektor der die Lösung ist.
BTW: was ist eigendlich der wesentliche Unterschied beim Vorgehen, wenn ich den Kern einer [mm] \IR^4-->\IR^3 [/mm] oder einer [mm] \IR^3-->\IR^3 [/mm] bestimmen möchte?
Ich bedanke mich!
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Hallo durden88,
> > Hallo wo ist denn plötzlich deine 3. Zeile,
> >
> > [mm]\pmat{ -1 & 1 & 0 & 3 & 0 \\
0 & -3 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 0 & -1 & 0}[/mm]
>
> >
> > bilde eine neue 3. Zeile: 4 mal Zeile 2 plus 3 mal Zeile 3
> >
> > [mm]\pmat{ -1 & 1 & 0 & 3 & 0 \\
0 & -3 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 8 & -3 & 0}[/mm]
>
> >
> > Steffi
> >
> Sodele, jetzt hab ich eine dritte Zeile, wobei die da
> lautet 0 0 8 -3. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ich bekomm aber scheinbar keine Zeile
> wirklich weggekürzt.
Na und? Macht doch nichts!
> In anderen Beiträgen habe ich
> gehört, wenn ich keine Zeile weggekürzt bekomme dann ist
> es nur der triviale Nullvektor der die Lösung ist.
Nein, die Matrix hier ist doch nicht quadratisch!
Du hast nun in Zeilenstufenform 3 Gleichungen in 4 Variablen, also ist eine frei wählbar.
Damit bekommst du einen eindimensionalen Kern:
Setze [mm]x_4=t[/mm] mit [mm]t\in\IR[/mm]
Dann ist mit Zeile 3: [mm]8x_3-3x_4=0[/mm], also [mm]8x_3-3t=0[/mm], dh. [mm]x_3=\frac{3}{8}t[/mm]
Gehe damit in Zeile 2 und berechne [mm]x_2[/mm] in Abh. von t, dann weiter in Zeile 1. um [mm]x_1[/mm] abzufischen.
>
> BTW: was ist eigendlich der wesentliche Unterschied beim
> Vorgehen, wenn ich den Kern einer [mm]\IR^4-->\IR^3[/mm] oder einer
> [mm]\IR^3-->\IR^3[/mm] bestimmen möchte?
Da ist kein Unterschied. Gleiches Prozedere, nimm die Abbildungsmatrix her (bzgl. der Standardbasen von Urbild- und Zielraum) und bringe sie in ZSF ...
Im ersten Fall hast du eine [mm]3\times 4[/mm]-Matrix, im zweiten eine [mm]3\times 3[/mm]-Matrix, allg. für [mm]\varphi:\IR^n\to\IR^m[/mm] eine [mm]m\times n[/mm]-Matrix.
Der Kern ist stets ein Unterraum des Urbildraumes, im ersten Fall also Teilraum des [mm]\IR^4[/mm], im zweiten Teilraum des [mm]\IR^3[/mm].
Das Prozedere für die Bestimmung des Kernes ist aber dasselbe ...
>
> Ich bedanke mich!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Fr 30.12.2011 | | Autor: | durden88 |
>
> Nein, die Matrix hier ist doch nicht quadratisch!
>
Was meinst du mit quadratisch? Also wenn gilt [mm] \IR^n [/mm] wird auf [mm] \IR^n [/mm] abgebildet?
Dankesehr
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Hallo nochmal,
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> >
> > Nein, die Matrix hier ist doch nicht quadratisch!
> >
> Was meinst du mit quadratisch? Also wenn gilt [mm]\IR^n[/mm] wird
> auf [mm]\IR^n[/mm] abgebildet?
Jo, allgemeiner ist eine Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung zwischen gleichdimensionalen Vektorräumen quadratisch.
Für [mm] $\varphi:\IR^n\to\IR^n$ [/mm] bekommst du etwa eine [mm] $n\times [/mm] n$-Matrix mit reellen Einträgen
>
> Dankesehr
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Fr 30.12.2011 | | Autor: | durden88 |
Also danke nochmal für die ausführliche Antwort. Ich bin dann wie folgt vorgegangen:
[mm] x_4=t
[/mm]
[mm] x_3= \bruch{3}{8}t
[/mm]
[mm] x_2=-\bruch{1}{4}t
[/mm]
[mm] x_1=-3\bruch{1}{4}t
[/mm]
Daraus folgt, dass [mm] \vec{x}=\vektor{-3\bruch{1}{4} \\ -\bruch{1}{4}\\\bruch{3}{8}\\1}t [/mm] gilt...der Kern dann also 1 ist oder? Aber laut meinem Taschenrechner sollte der Kern 2 betragen...hmmm
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Hallo nochmal,
> Also danke nochmal für die ausführliche Antwort. Ich bin
> dann wie folgt vorgegangen:
>
> [mm]x_4=t[/mm]
> [mm]x_3= \bruch{3}{8}t[/mm]
> [mm]x_2=-\bruch{1}{4}t[/mm]
Hmm, da habe ich [mm]x_2=+\frac{1}{4}t[/mm]
> [mm]x_1=-3\bruch{1}{4}t[/mm]
Und hier dann [mm]x_1=\frac{5}{4}t[/mm]
Hast du alle Vorzeichen bedacht?
>
> Daraus folgt, dass [mm]\vec{x}=\vektor{-3\bruch{1}{4} \\
-\bruch{1}{4}\\
\bruch{3}{8}\\
1}t[/mm]
> gilt...
Mit den korrigierten ersten beiden Komponenten hat ein Vektor im Kern diese Form, ja! (wobei man Skalare von links dranmultipliziert)
> der Kern dann also 1 ist oder?
Nein, das ist doch Quatsch, der Kern ist eine Menge von Vektoren, hier eine Teilmenge des [mm]\IR^4[/mm]
[mm]\operatorname{ker}(\delta)=\left\{t\cdot{}\vektor{\frac{5}{4}\\
\frac{1}{4}\\
\frac{3}{8}\\
1}, t\in\IR\right\}[/mm]
[mm]=\left\{\tilde t\cdot{}\vektor{10\\
2\\
3\\
8},\tilde t\in\IR\right\}[/mm]
Der Kern wird also von dem Vektor [mm]\vektor{10\\
2\\
3\\
8}[/mm] aufgespannt, er ist eine Basis des Kernes, somit ist der Kern einDIMENSIONAL
> Aber laut meinem
> Taschenrechner sollte der Kern 2 betragen...hmmm
Das ist keine Aussage ... Meinst du, dass der Kern 2-dimensional sein soll?
Ich denke nicht, dass wir uns verrechnet haben, unsere Rechnung zeigt, dass der [mm]\operatorname{ker}(\delta)[/mm] ein eindimens. Untervektorraum des [mm]\IR^4[/mm] ist ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:40 Fr 30.12.2011 | | Autor: | durden88 |
Ok ich rechne dann nochmal nach und vielen lieben Dank für die Hilfe.
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