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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:43 Fr 06.03.2009 | | Autor: | deny-m |
| Aufgabe | Für M:={w [mm] \in \IC| w^4=i [/mm] } mit der imaginären Einheit [mm] i=\wurzel{-1} [/mm] ist
[mm] \max_{w_1,w_2\in M}\left| w_1-w_2 \right|>\bruch{3}{2}.
[/mm]
Wahr oder falsch? |
Hallo,
Meine Rechnung:
[mm] w^4=i
[/mm]
[mm] \left| i \right|=1=r\quad arg(w)=\bruch{\pi}{2}
[/mm]
Formel v. Moivre angewendet:
[mm] w_0=e^{(\bruch{\pi}{8}+0\cdot \bruch{2\pi}{4})}=(cos\bruch{\pi}{8}+i sin\bruch{\pi}{8})
[/mm]
[mm] w_1=e^{(\bruch{\pi}{8}+1\cdot \bruch{2\pi}{4})}=(cos\bruch{5\pi}{8}+i sin\bruch{5\pi}{8})
[/mm]
[mm] w_2=e^{(\bruch{\pi}{8}+2\cdot \bruch{2\pi}{4})}=(cos\bruch{9\pi}{8}+i sin\bruch{9\pi}{8})
[/mm]
[mm] w_3=e^{(\bruch{\pi}{8}+3\cdot \bruch{2\pi}{4})}=(cos\bruch{13\pi}{8}+i sin\bruch{13\pi}{8})
[/mm]
[mm] \max_{w_1,w_2\in M}\left| w_1-w_2 \right|=\left|(cos\bruch{5\pi}{8}+i sin\bruch{5\pi}{8})-(cos\bruch{9\pi}{8}+i sin\bruch{9\pi}{8})\right|=\left|(cos\bruch{5\pi}{8}-cos\bruch{9\pi}{8})+i(sin\bruch{5\pi}{8}-sin\bruch{9\pi}{8}) \right|
[/mm]
[mm] =(cos\bruch{5\pi}{8}-cos\bruch{9\pi}{8})+(sin\bruch{5\pi}{8}-sin\bruch{9\pi}{8})=1,85>\bruch{3}{2}
[/mm]
Damit ist es wahr!
Ist es so damit bewiesen, reicht es aus?
Was hat eigetlich der Ausdruck [mm] \max_{w_1,w_2\in M} [/mm] für diese Aufgabe genau zu bedeuten?
Und wie oft muss ich denn folgenden Satz noch einfügen, bin doch schon mit 4 beiträgen kein Erst-Poster mehr oder?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:58 Fr 06.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo deny!
Um es vorweg zu nehmen: die Aussage ist richtig, denn als Betrag der Differenzen ergibt sich als maximaler Wert $2 \ > \ [mm] \bruch{3}{2}$ [/mm] .
Mit [mm] $\max_{w_1, w_2\in M}$ [/mm] ist gemeint, dass von allen möglichen Differenzen der Maximalwert gelten soll.
Viel schneller am Ziel bist Du, wenn Du Dir die 4 Lösungen in die Gauß'sche Zahlenebene einzeichnest. Dann sieht man schnell, dass die Differenz [mm] $w_3-w_1$ [/mm] den maximalen Betrag hat: und zwar genau den Durchmesser des Einheitskreises: [mm] $\max{|w_3-w_1|} [/mm] \ = \ 1+1 \ = \ 2$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Fr 06.03.2009 | | Autor: | deny-m |
Super danke dir! Hab sogar dank dir einen Rechenfehler entdeckt. Hab den Betrag am Ende garnicht richtig gerechnet, denn man muss ja so:
[mm] =\wurzel{(cos\bruch{5\pi}{8}-cos\bruch{9\pi}{8})^2+(sin\bruch{5\pi}{8}-sin\bruch{9\pi}{8})^2}
[/mm]
Aber ich muss ja trotzdem alle Differenzen dann ausrechnen, um zu sehen welcher der maximale ist! Und um zu zeichnen muss ich doch auch erstmal alle Differenzen rechnen! Also ist es doch mit Zeichnen überflüssig!?? Oder ich hab das nicht verstanden oder ich weiß es nicht wie man das dann zeichnet!??
Kannst du es mir bitte noch erklären!
Danke nochmals!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Fr 06.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo deny!
Hier mal die 4 Lösungen [mm] $w_1 [/mm] \ ... \ [mm] w_4$ [/mm] der Gleichung [mm] $w^4 [/mm] \ = \ i$ in der Gauß'schen Zahlenebene:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Damit sollte nun klar sein, dass die betragsmäßig maximale Differenz bei [mm] $w_3-w_1$ [/mm] bzw. [mm] $w_4-w_2$ [/mm] entsteht.
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:23 Fr 06.03.2009 | | Autor: | deny-m |
WAu toll, danke sehr!!! jetzt wird es eindeutig klar!
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