Konfi-I. Reifen Matheabi 2024 < Sonstiges < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:23 Do 08.05.2025 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Auf einem Prüfstand wird für einen Reifen eines Lastenrades die Strecke gemessen, die der Reifen gefahren werden kann, bis er unbrauchbar wird. Überschreitet der Reifen dabei eine gewisse Mindeststrecke, so wird er „langlebig“ genannt.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Reifen langlebig ist, wird im Folgenden mit p bezeichnet. In einer Stichprobe aus 450 Reifen befinden sich 416 langlebige Reifen.
c1) Geben Sie den Anteil der langlebigen Reifen in der Stichprobe in Prozent an.
c2) Prüfen Sie, ob die Wahrscheinlichkeit p = 0;9 mit dem Stichprobenergebnis 416 auf einem Signifikanzniveau von 5 % verträglich ist.
Das ist genau dann der Fall, wenn das Stichprobenergebnis im 95 %-Annahmebereich der Hypothese H: p = 0;9 liegt.
c3) Bestimmen Sie zu dem Stichprobenergebnis näherungsweise die obere Grenze des zugehörigen 95 %-Konfidenzintervalls für den Wert von p. |
Moin Moin,
ich verstehe die Musterlösung bei c3) nicht. Vielleicht kann mir das jemand erläutern?!
zu c1) Gut, das ist [mm] \bruch{416}{450} [/mm] = [mm] 0,92\overline{4}
[/mm]
bzw. [mm] \approx [/mm] 92,44 %.
zu c2) Wenn H: p= 0,9 gilt, dann ist der Annahmebereich [mm] [\mu [/mm] - [mm] 1,96*\sigma; \mu [/mm] + [mm] 1,96*\sigma] [/mm]
[mm] \mu [/mm] = n*p = 450*0,9 = 405
[mm] \sigma [/mm] = [mm] \wurzel{n*p*(1-p)} [/mm] = [mm] \wurzel{450*0,9*0,1} \approx [/mm] 6,36
[405 - 1,96*6,36 ; 405 + 1,96*6,36]
[392,53; 417,47]
[393;417] => 416 liegt im Annahmebereich von H.
zu c3)
Das 95% Konfidenzintervall wäre hier [p - [mm] 1,96*\bruch{\sigma}{n}; [/mm] p + [mm] 1,96*\bruch{\sigma}{n}] [/mm]
bzw. [p - [mm] 1,96*\wurzel{\bruch{p*(1-p)}{n}}; [/mm] p + [mm] 1,96*\wurzel{\bruch{p*(1-p)}{n}}] [/mm]
richtig?
Dann müsste gelten: p + [mm] 1,96*\wurzel{\bruch{p*(1-p)}{450}} \le [/mm] 0,975
richtig?
=> [mm] p_{max} [/mm] = 0,956
Hier die Musterlösung:
| [mm] \bruch{416}{450} [/mm] - p | = [mm] 1,96*\wurzel{\bruch{p*(1-p)}{n}}
[/mm]
Für p > [mm] \bruch{416}{450} [/mm] liefert dies die Lösung p [mm] \approx [/mm] 0;945 als Obergrenze des 95 %-Konfidenzintervalls.
Wie kommt man auf [mm] p_{max} \approx [/mm] 0,945 ???
Was ich mache falsch?
Danke & Gruß!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:00 Do 08.05.2025 | | Autor: | statler |
> Auf einem Prüfstand wird für einen Reifen eines
> Lastenrades die Strecke gemessen, die der Reifen gefahren
> werden kann, bis er unbrauchbar wird. Überschreitet der
> Reifen dabei eine gewisse Mindeststrecke, so wird er
> „langlebig“ genannt.
> Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig
> ausgewählter Reifen langlebig ist, wird im Folgenden mit p
> bezeichnet. In einer Stichprobe aus 450 Reifen befinden
> sich 416 langlebige Reifen.
>
> c1) Geben Sie den Anteil der langlebigen Reifen in der
> Stichprobe in Prozent an.
> c2) Prüfen Sie, ob die Wahrscheinlichkeit p = 0;9 mit dem
> Stichprobenergebnis 416 auf einem Signifikanzniveau von 5 %
> verträglich ist.
> Das ist genau dann der Fall, wenn das Stichprobenergebnis
> im 95 %-Annahmebereich der Hypothese H: p = 0;9 liegt.
>
> c3) Bestimmen Sie zu dem Stichprobenergebnis
> näherungsweise die obere Grenze des zugehörigen 95
> %-Konfidenzintervalls für den Wert von p.
> Moin Moin,
>
> ich verstehe die Musterlösung bei c3) nicht. Vielleicht
> kann mir das jemand erläutern?!
>
>
> zu c1) Gut, das ist [mm]\bruch{416}{450}[/mm] = [mm]0,92\overline{4}[/mm]
>
> bzw. [mm]\approx[/mm] 92,44 %.
>
>
> zu c2) Wenn H: p= 0,9 gilt, dann ist der Annahmebereich
> [mm][\mu[/mm] - [mm]1,96*\sigma; \mu[/mm] + [mm]1,96*\sigma][/mm]
>
> [mm]\mu[/mm] = n*p = 450*0,9 = 405
>
> [mm]\sigma[/mm] = [mm]\wurzel{n*p*(1-p)}[/mm] = [mm]\wurzel{450*0,9*0,1} \approx[/mm]
> 6,36
>
> [405 - 1,96*6,36 ; 405 + 1,96*6,36]
>
> [392,53; 417,47]
>
> [393;417] => 416 liegt im Annahmebereich von H.
>
Man müßte nach außen runden, also [392, 418], aber dann liegt 416 erst recht im Annahmebereich.
>
> zu c3)
>
> Das 95% Konfidenzintervall wäre hier [p -
> [mm]1,96*\bruch{\sigma}{n};[/mm] p + [mm]1,96*\bruch{\sigma}{n}][/mm]
>
> bzw. [p - [mm]1,96*\wurzel{\bruch{p*(1-p)}{n}};[/mm] p +
> [mm]1,96*\wurzel{\bruch{p*(1-p)}{n}}][/mm]
>
> richtig?
>
> Dann müsste gelten: p +
> [mm]1,96*\wurzel{\bruch{p*(1-p)}{450}} \le[/mm] 0,975
>
> richtig?
>
> => [mm]p_{max}[/mm] = 0,956
>
>
> Hier die Musterlösung:
>
>
> | [mm]\bruch{416}{450}[/mm] - p | =
> [mm]1,96*\wurzel{\bruch{p*(1-p)}{n}}[/mm]
>
> Für p > [mm]\bruch{416}{450}[/mm] liefert dies die Lösung p
> [mm]\approx[/mm] 0;945 als Obergrenze des 95 %-Konfidenzintervalls.
>
>
> Wie kommt man auf [mm]p_{max} \approx[/mm] 0,945 ???
Ich kriege 0,942 als Obergrenze für den Konfidenzbereich. Es gibt hier ein wahres p und ein geschätztes [mm] $\hat [/mm] p$, es ist [mm] $\hat [/mm] p = [mm] \frac{416}{450}$ [/mm] (die Standardabweichung ist übrigens auch aus dem Versuch geschätzt). Für einen exakten Konfidenzbereich gibt es keine geschlossene Formel. Siehe dazu auch ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia.
>
Gruß aus HH
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Do 08.05.2025 | | Autor: | hase-hh |
Moin Moin,
also müsste ich im Prinzip für p ( bzw. $ [mm] \hat [/mm] p $ ), nur die relative Häufigkeit [mm] \bruch{k}{n} [/mm] = [mm] \frac{416}{450} [/mm] einsetzen?!
[mm] p_{max} [/mm] = p + [mm] 1,96\cdot{}\wurzel{\bruch{p\cdot{}(1-p)}{n}} [/mm]
[mm] p_{max} [/mm] = [mm] \bruch{416}{450} [/mm] + [mm] 1,96\cdot{}\wurzel{\bruch{\bruch{416}{450}*(1 -\bruch{416}{450})}{450}}
[/mm]
[mm] \approx [/mm] 0,9489
Wahrscheinlich ist mein Denkfehler, dass
p + [mm] 1,96\cdot{}\wurzel{\bruch{p\cdot{}(1-p)}{n}} [/mm]
ein Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit von P 97,5% darstellt.
Dabei wird mit diesem Term nur die maximale Wahrscheinlichkeit p berechnet, die die Obergrenze des 95%-Konfidenzintervalls ist?!
Danke & Gruß aus Bad Oldesloe ^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:50 Fr 09.05.2025 | | Autor: | statler |
Hi!
> also müsste ich im Prinzip für p ( bzw. [mm]\hat p[/mm] ), nur
> die relative Häufigkeit [mm]\bruch{k}{n}[/mm] = [mm]\frac{416}{450}[/mm]
> einsetzen?!
Ja, aber man sollte eben penibel sein und in den Formeln zwischen der wahren, aber unbekannten Wahrscheinlichkeit [mm] $\pi$ [/mm] (bei Sachs) und der aus dem Versuch geschätzten Wahrscheinlichkeit [mm] $\hat [/mm] p$ (so bei den Statistikern üblich) unterscheiden.
>
>
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> [mm]p_{max}[/mm] = p + [mm]1,96\cdot{}\wurzel{\bruch{p\cdot{}(1-p)}{n}}[/mm]
>
>
> [mm]p_{max}[/mm] = [mm]\bruch{416}{450}[/mm] +
> [mm]1,96\cdot{}\wurzel{\bruch{\bruch{416}{450}*(1 -\bruch{416}{450})}{450}}[/mm]
>
> [mm]\approx[/mm] 0,9489
Da hier mit Hilfe der Normalverteilung approximiert wird, kommt auch noch die Stetigkeitskorrektur ins Spiel:
[mm]p_{max}[/mm] = [mm]\bruch{416 + 0,5}{450}[/mm] +
[mm]1,96\cdot{}\wurzel{\bruch{\bruch{416}{450}*(1 -\bruch{416}{450})}{450}}[/mm]
>
>
> Wahrscheinlich ist mein Denkfehler, dass
>
> p + [mm]1,96\cdot{}\wurzel{\bruch{p\cdot{}(1-p)}{n}}[/mm]
>
> ein Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit von P 97,5%
> darstellt.
>
> Dabei wird mit diesem Term nur die maximale
> Wahrscheinlichkeit p berechnet, die die Obergrenze des
> 95%-Konfidenzintervalls ist?!
Das mag sein.
>
Gruß Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:32 Mo 12.05.2025 | | Autor: | hase-hh |
Moin,
>
> Da hier mit Hilfe der Normalverteilung approximiert wird,
> kommt auch noch die Stetigkeitskorrektur ins Spiel:
>
> [mm]p_{max}[/mm] = [mm]\bruch{416 + 0,5}{450}[/mm] +
> [mm]1,96\cdot{}\wurzel{\bruch{\bruch{416}{450}*(1 -\bruch{416}{450})}{450}}[/mm]
>
Zum einen würde ich das Standard-Intervall bzw. Wald-Intervall
[mm] p_{o} [/mm] = [mm] p_{Dach} [/mm] + [mm] c*\wurzel{\bruch{ p_{Dach} (1 - p_{Dach} )}{n} }
[/mm]
Leider führt hier mehrmaliges Dollar Schrägstrich-hat p Dollar zu Klammerfehlermeldungen !!
durchgängig mit $ [mm] \hat [/mm] p $ mit Stetigkeitskorrektur verwenden.
[mm] \bruch{416 +0,5}{450} [/mm] + [mm] 1,96\cdot{}\wurzel{\bruch{\bruch{416 +0,5}{450}*(1 -\bruch{416 +0,5}{450})}{450}}
[/mm]
Dies führt zu [mm] p_{o} [/mm] = 0,9498 [ohne Stetigkeitskorrektur 0,9489]
Erst bei Verwendung des Wilson-Intervalls kommt der in der Musterlösung angegebene Wert heraus !!
[mm] p_{o} [/mm] = [mm] \bruch{k +\bruch{c^2}{2}}{n +c^2} +\bruch{c*\wurzel{n}}{n +c^2}*\wurzel{\bruch{k}{n}*(1 - \bruch{k}{n}) +\bruch{c^2}{4n}} [/mm]
mit k = 416, n = 450, c = 1,96
[mm] p_{o} [/mm] = 0,09454
mit Stetigkeitskorrektur, also k = 416,5 [mm] p_{o} [/mm] = 0,09464.
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