Logarithmische Konvexität < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:49 Mi 01.12.2010 | | Autor: | Harris |
| Aufgabe | | Sind g,f logarithmisch konvex, so ist auch g+f logarithmisch konvex. |
Hi!
Ich habe leider keine Idee, wie ich das zeigen kann.
Logarithmische Konvexität einer Funktion g bedeutet, dass x -> log g(x) konvex ist.
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 21:04 Mi 01.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sind g,f logarithmisch konvex, so ist auch g+f
> logarithmisch konvex.
> Hi!
>
> Ich habe leider keine Idee, wie ich das zeigen kann.
> Logarithmische Konvexität einer Funktion g bedeutet, dass
> x -> log g(x) konvex ist.
Damit hast du doch schonmal einen guten Anfang.
Du nimmst dir $x, y [mm] \in \IR$ [/mm] und $t [mm] \in [/mm] [0, 1]$, und musst zeigen [mm] $\log(f(t [/mm] x + (1 - t) y) + g(t x + (1 - t) y)) [mm] \le [/mm] t [mm] \log(f(x) [/mm] + g(x)) + (1 - t) [mm] \log(f(y) [/mm] + g(y))$.
Dazu benutze doch erstmal, dass $f$ und $g$ konvex sind, und dann, dass der Logarithmus ebenfalls konvex ist. Dann steht es doch schon da.
Rechne doch mal los!
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:02 Do 02.12.2010 | | Autor: | Harris |
Danke für die Antwort!
Aber...
Impliziert denn logarithmische Konvexität normale Konvexität?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 Do 02.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Danke für die Antwort!
> Aber...
>
> Impliziert denn logarithmische Konvexität normale
> Konvexität?
Fuer "schoene" (sprich: zweimal differenzierbare) Funktionen kann man das schnell nachrechnen: ist $f(x)$ konvex, so auch [mm] $\exp(f(x))$, [/mm] da die zweite Ableitung davon gleich [mm] $\exp(f(x)) f'(x)^2 [/mm] + [mm] \exp(f(x)) [/mm] f''(x) [mm] \ge [/mm] 0$ ist, da $f''(x) [mm] \ge [/mm] 0$ ist.
Wenn man das auf $f(x) = [mm] \log [/mm] g(x)$ anwendet mit $g$ logarithmisch konvex, dann folgt also, dass [mm] $\exp(f(x)) [/mm] = g(x)$ konvex ist.
Fuer allgemeine konvexe Funktionen (nicht notwendigerweise differenzierbar) geht's auch sehr einfach, man benutzt das gleiche Argument zusammen damit, dass $f$ und [mm] $\exp$ [/mm] konvex sind.
Allerdings hat meine Loesung trotzdem ein Problem: die Logarithmusfunktion ist nicht konvex (sondern streng konkav)!
[Deine Aufgabenstellung bedeutet uebrigens: sind $f(x)$ und $g(x)$ konvex, so auch $h(x) = [mm] \log(\exp(f(x)) [/mm] + [mm] \exp(g(x)))$. [/mm] Vielleicht ist es damit etwas einfacher. Du kannst ja erstmal zweimal ableiten um zu schauen, was passiert, wenn $f$ und $g$ zweimal differenzierbar sind.]
LG Felix
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