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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:48 Di 28.11.2006 | | Autor: | Hrungnir |
| Aufgabe | | Sei A [mm] \in M(2x2,\IZ) [/mm] eine invertierbare Matrix mit ganzzahligen Einträgen. Zeigen Sie, dass die inverse Matrix [mm] A^{-1} \in M(2x2,\IR) [/mm] genau dann wieder ganzzahlige Einträge hat, wenn [mm] det(A)=\pm [/mm] 1 |
Hi,
also die eine Richtung hab ich bewiesen. Wenn die Determinante [mm] \pm [/mm] 1, dann ist auch [mm] A^{-1} [/mm] mit ganzzahligen Einträgen. Aber die Rückrichtung fällt mir schwer. Ich meine, es müssen ja alle Einträge ganzzahlige Vielfache der Determinanten, also von ad-bc seyn, damit auch die Inverse ganzzahlige Einträge hat. Aber wieso kann ich daraus schließen, daß der Betrag der Determinanten gleich 1 ist?
Wäre froh, wenn mir vl jmd einen kleinen Tipp geben könnte. Vielen Dank im Voraus!
Hrungnir
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Hallo Hrungnir,
ist [mm] $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ [/mm] ($a,b,c,d [mm] \in \IZ$) [/mm] mit [mm] $\det{A} \ne [/mm] 0$, dann ist [mm]M:=\begin{pmatrix} \bruch{d}{\det{A}} & \bruch{-b}{\det{A}} \\ \bruch{-c}{\det{A}} & \bruch{a}{\det{A}} \end{pmatrix}[/mm]
die Inverse von $A$; bei der Rückrichtung nimmst Du ja [mm] $\det{A}=\pm [/mm] 1$ an.
Alles klar?
Gruß
zahlenspieler
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Mi 29.11.2006 | | Autor: | Hrungnir |
Hi,
da hab ich mich falsch ausgedrückt. Das habe ich schon gezeigt. Mit "Rückrichtung" meinte ich die Richtung, die ich eben noch nicht gezeigt hatte. Also genau die andere. Trotzdem Danke für Deine Mühen.
Kann mir jmd mit der anderen Richtung helfen?
grüße Hrungnir
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:13 Mi 29.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
dazu musst du nur zeigen dass nicht alle a,b,c,d durch ad-bc teilbar sind, wenn ad-bc [mm] \ne [/mm] -1 ist. denk dran, dass die det auf jeden Fall ganzzahlig ist! angenommen det=2, a,b,c,d muessen gerade sein, dann ad, bc durch 4tb, also muessen auch a,b,c,d durch 4tb sein also durch [mm] 4^2 [/mm] usw!
das kann man allgemeiner ausdruecken, indem man det in primfaktoren zerlegt. die muessen dann alle in a,b,c,d enthalten sein, also...
Gruss leduart
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vielen Dank für Deine Antwort,
ich hatte erst nur oberflächlich gelesen und dachte ich hätte es verstanden, aber bei der formulierung fällt mir nun auf, daß ich es wohl doch noch nicht verstanden habe (wieso kann ich zb aus ad durch 4 teilbar schließen, daß auch a und d durch vier teilbar sind?). Ich wäre dankbar, wenn mir jemand noch mals ausführlicher helfen könnte. Vielen Dank!
gruß hrungnir
Habe es mir nochmals angesehen und bin nun selbst draufgekommen. Vielen Dank an alle, die wo geholfen haben. gruß hrungnir
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mo 04.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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