Monotonie, cos < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:27 So 12.10.2014 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | In welchen Intervallen ist die folgende Funktion f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] monoton wachsend bzw. fallend
1. f(x)=cos(x) |
Hei,
Meine Nachhilfestudentin im 1.Sem soll die Monotonie beweisen. Natürlich dürfen sie noch nicht mit differenzieren arbeiten.
Sie haben cosinus und sinus noch nicht weiter besprochen(also auf Schulniveau am Einheitskreis).
Sei x, x+a [mm] \in [-\pi/2, [/mm] 0], a >0
ZuZeigen ist: cos(x) < cos(x+a)
Hat wer einen Rat wie man das zeigt ohne Vorwissen?
Mit freundlichen Grüßen
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:06 So 12.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> In welchen Intervallen ist die folgende Funktion f: [mm]\IR[/mm] ->
> [mm]\IR[/mm] monoton wachsend bzw. fallend
> 1. f(x)=cos(x)
>
> Hei,
> Meine Nachhilfestudentin im 1.Sem soll die Monotonie
> beweisen. Natürlich dürfen sie noch nicht mit
> differenzieren arbeiten.
> Sie haben cosinus und sinus noch nicht weiter
> besprochen(also auf Schulniveau am Einheitskreis).
> Sei x, x+a [mm]\in [-\pi/2,[/mm] 0], a >0
> ZuZeigen ist: cos(x) < cos(x+a)
wenn ich das richtig sehe, steht ihr nur die Definition am Einheitskreis zur
Verfügung? Dann kann man eigentlich auch nur mit *Anschauungsargumenten*
argumentieren:
Der Kosinus ist (streng) wachsend auf [mm] $[\pi,2\pi]\,.$ [/mm] Denn:
Der Kosinus entsteht, wenn man den Rand des Einheitskreises ("Kreislinie")
im kartesischen KO-System zeichnet, einen Punkt dieser Kreislinie hernimmt
und seine Projektion auf die [mm] $x\,$-Achse [/mm] betrachtet. (Da müßte man mehr
dazu sagen, man muss ja den Winkel auch irgendwie "benennen", aber
Du weißt, was ich meine, denke ich).
Daher ist
[mm] $\cos(\pi)=-1$
[/mm]
klar, weil die [mm] $x\,$-Koordinate [/mm] von [mm] $(-1|0)\,$ [/mm] halt [mm] $-1\,$ [/mm] ist.
Laufen wir jetzt (entgegen des Uhrzeigersinns) den (unteren Halb-)Kreis
weiter, so sehen wir die Zunahme dieser Projektion, bis wir wieder am
Punkt [mm] $(1|0)\,$ [/mm] angekommen sind.
Schön visualisiert sieht man das
![[]](/images/popup.gif) hier (klick - gif von Wiki über Kosinus),
wobei die Projektion da als blaue Kurve direkt als Graph der Kosinusfunktion
dargestellt ist. Aber schau' Dir einfach an, was die [mm] $y\,$-Werte [/mm] des blauen Graphen
mit dem "Lauf des grünen Punktes auf der Kreislinie des Einheitskreises" zu
tun haben.
Mich wundert das aber, ehrlich gesagt, dass so wenig über den Kosinus
bekannt sein soll. Gibt es da nicht vielleicht doch ein wenig mehr, so etwas
wie z.B. die Additionstheoreme, Reihendarstellung?
P.S. Man sieht so allgemein: Der Kosinus ist auf allen Intervallen
[mm] $[\pi+z*2\pi,\;(z+1)*2\pi]$ [/mm] (mit einem $z [mm] \in \IZ$)
[/mm]
(streng) monoton wachsend.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Mo 13.10.2014 | | Autor: | quasimo |
Danke Marcel, so versuche ich es wiederzugeben.
Ich glaub, dass sie die Additionstheoreme auch verwenden dürfen, bin mir aber nicht sicher.
Aber die Reihendarstellung wurde noch nicht gemacht, dass weiß ich von ihr.
MfG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:46 Di 14.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo quasimo,
> Danke Marcel, so versuche ich es wiederzugeben.
> Ich glaub, dass sie die Additionstheoreme auch verwenden
> dürfen, bin mir aber nicht sicher.
> Aber die Reihendarstellung wurde noch nicht gemacht, dass
> weiß ich von ihr.
man kann den Sinus auch mit den Additionstheoremen definieren, Heuser
macht das etwa (er fordert quasi gewisse Additionstheoreme, um den
Sinus zu charakte-risieren, zeigt aber erst später die Existenz einer solchen
Funktion, die dann "Sinus(funktion)" heißt.
Man müßte halt genau wissen, was sie nun verwenden darf, um einen
Beweis rein mit diesem Wissen sauber formal aufzubauen. Aber ich denke
eigentlich, dass es hier eher um *Anschauungsargumente* geht, da sie
den Sinus/Cosinus ja am Einheitskreis "definiert" haben.
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
![[]](http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_functions#mediaviewer/File:Circle_cos_sin.gif){kind=small}
hier (klick - gif von Wiki über Kosinus)