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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:20 Di 26.12.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
Ich habe hier folgenden "Satz":
[mm] (a_n)_{n\ge m} [/mm] sei monoton steigend. Dann
[mm] $\exists \lim_{n \rightarrow \infty} a_n$ [/mm] und es gilt [mm] $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n [/mm] = [mm] sup_{n \ge m} a_n [/mm] = [mm] sup\{a_n:n \ge m\} [/mm] $
Beweis:
Setze [mm] $S_0 [/mm] := [mm] sup_{n \ge m}a_n$
[/mm]
1. Fall: [mm] S_0 [/mm] < [mm] \infty [/mm] mit [mm] \varepsilon [/mm] >0
[mm] \exists n_0 [/mm] : [mm] S_0 [/mm] - [mm] \arepsilon [/mm] < [mm] a_n_0
[/mm]
Da [mm] (a_n)_{n\ge m} [/mm] monoton wachsend ist, folgt:
[mm] $S_0 [/mm] - [mm] \varepsilon [/mm] < [mm] a_{n_0} \le a_{n_1}\le....\le S_o \; \forall [/mm] n [mm] \ge n_0$ [/mm] und somit [mm] |a_n-S_0| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Also gilt [mm] a_n \rightarrow S_0 [/mm] .
[mm] a_n \rightarrow S_0 [/mm] bedeutet so viel, dass der [mm] lim_{n \rightarrow \infty} a_n=S_0 [/mm] ist.
Ich würde dsa jetzt gerne für [mm] S_0 [/mm] = [mm] \infty [/mm] machen, habe hier aber überhaupt keine Idee. Meine Annahme ist lediglich, dass es keine kleinste obere Schranke gibt, wenn die Folge divergiert. Ich könnte jetzt natürlich alles kopieren, wie der Beweis aus der Vorlesung ist, aber ich finde, das macht so erst einmal keinen Sinn.
Ich würde also gerne zeigen, dass es keine kleinste obere Schranke gibt (falls die Annahme denn stimmt).
Also die Argumentation ist ja so, dass wenn [mm] S_0 [/mm] der Grenzwert wäre, Dann müssten ja fast alle [mm] a_n [/mm] im Bereich
[mm] $]a_n [/mm] - [mm] \varepsilon, a_n+ \varepsilon[$ [/mm] liegen.
Dass im Falle von Divergenz allerdings unendlich viele [mm] a_n [/mm] auch außerhalb dieses Intervalls liegen, egal wie man [mm] \varepsilon [/mm] wählt, ist mir auch klar (wenn ich diese Idee jetzt vertiefen würde, ist bestimmt etwas wahres dran?)
Aber ich will ja keinen Aufsatz schreiben.
Ideen sind herzlich willkommen!!!
Danke euch
Johann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:28 Di 26.12.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo Phoney
Wenn das Supremum unendlich ist [mm] ($S_0=\infty$), [/mm] dann heisst das, dass es zu jeder Zahl x ein [mm] $a_n$ [/mm] gibt mit [mm] $a_n>x$. [/mm] Wegen der Monotonie sind, dann fast alle [mm] $a_n$ [/mm] grösser als x.
Daher, zu jeder Zahl x sind fast alle [mm] $a_n$ [/mm] grösser als x, dann kann doch keine endliche Zahl Grenzwert der Folge sein.
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 Sa 30.12.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo Moudi,
dankeschön für den Einzeiler 
Mfg und guten Rutsch wünsche ich
Johann
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