www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Nullstellen der Ableitung
Nullstellen der Ableitung < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Nullstellen der Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:34 Di 22.11.2011
Autor: pirad

Aufgabe
Beweisen Sie, dass die Eigenwerte der Matrix M die Nullstellen der Ableitung des Polynoms [mm] f=(x-x_1)(x-x_2)\ldots(x-x_n) [/mm] sind.
[mm] M=diag(x_2,\ldots,x_n)-ev^T/n [/mm] mit [mm] e=(1,1,\ldots,1), v=(x_2-x_1,x_3-x_1,\ldots,x_n-x_1) [/mm]

In dem []Paper wird in Kapitel 3 behauptet, dass diese Aussage gilt. Mir ist aber nicht klar warum.
Die Matrix M muss ähnlich sein zu der []Begleitmatrix der Ableitung, mit dem Satz von Vieta (allgemeine Form) kann man auch die Koeffizienten in Abhängigkeit der Nullstellen von f schreiben. Dann komme ich nicht weiter, bzw. es wird sehr unschön und ich hoffe es gibt einen schöneren Weg als das dann umzuformen. Ich kann leider auch mit google keinen Beweis finden.

        
Bezug
Nullstellen der Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:21 Do 24.11.2011
Autor: pirad

Ich habe mir den verlinkten Artikel noch mal angeschaut. Da wird aus der Gleichung für Eigenwerte die Formel [mm] x_i=\bruch{d}{z_i-\xi} [/mm] hergeleitet. Dann wird behauptet mit der Gleichung, wie d definiert ist kommt man auf die Gleichung [mm] 0=\frac{1}{\xi-z_1}+\ldots+\frac{1}{\xi-z_n}. [/mm] Den Schritt jedoch kann ich nicht nachvollziehen. Ich komme auf
[mm] d=d\sum_{i=1}^{n-1}\frac{z_{i+1}-z_1}{n(z_{i+1}-\xi)} [/mm]
und
[mm] 0=\sum_{i=1}^{n-1}\frac{(n-1)z_{n+1}-n\xi-z_1}{n(z_{i+1}-\xi} [/mm]
und ab da nicht weiter.

Bezug
        
Bezug
Nullstellen der Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:25 So 25.12.2011
Autor: felixf

Moin!

> Beweisen Sie, dass die Eigenwerte der Matrix M die
> Nullstellen der Ableitung des Polynoms
> [mm]f=(x-x_1)(x-x_2)\ldots(x-x_n)[/mm] sind.
>  [mm]M=diag(x_2,\ldots,x_n)-ev^T/n[/mm] mit [mm]e=(1,1,\ldots,1), v=(x_2-x_1,x_3-x_1,\ldots,x_n-x_1)[/mm]

In dem Fall ist [mm] $f'(\lambda) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n \prod_{j \neq i} (\lambda [/mm] - [mm] x_j)$; [/mm] der Leitterm davon ist $n [mm] \lambda^{n-1}$, [/mm] womit man es mit [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] multiplizieren muss um ein normiertes Polynom zu erhalten.

Laut []dieser Seite (die gerade nicht bei mir geht, aber gluecklicherweise hatte ich mir das mal aufgeschrieben; ansonsten findet sich das noch im google-Cache) gilt [mm] $\det(D [/mm] + u [mm] v^T) [/mm] = [mm] \det [/mm] D + [mm] v^T D^\# [/mm] u$ fuer alle $D [mm] \in K^{n \times n}$, [/mm] $u, v [mm] \in K^n$, [/mm] wobei $K$ ein beliebiger Koerper ist und [mm] $D^\#$ [/mm] die []komplementaere Matrix zu $D$ ist.

Damit ist [mm] $\det(\lambda E_n [/mm] - M) = [mm] (-1)^{n-1} \det(D [/mm] - e/n [mm] \cdot v^T)$ [/mm] mit $D = [mm] diag(x_1 [/mm] - [mm] \lambda, \dots, x_{n-1} [/mm] - [mm] \lambda)$, [/mm] $e/n = (1/n, [mm] \dots, [/mm] 1/n)$ und $v = [mm] (x_1-x_0, \dots, x_{n-1}-x_0)$. [/mm] (Ich hab die Indices mal verschoben.) Damit ist hier [mm] $D^\#$ [/mm] die Diagonalmatrix, deren $i$-ter Eintrag gleich [mm] $\prod_{j=1 \atop j \neq i}^{n-1} (x_j [/mm] - [mm] \lambda)$ [/mm] ist, $1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n-1$. Und damit die Aussage stimmt, muss $n [mm] \det(\lambda E_n [/mm] - M) = [mm] f'(\lambda)$ [/mm] sein. (Wobei [mm] $f'(\lambda) [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^{n-1} \prod_{j=0 \atop j \neq i}^{n-1} (\lambda [/mm] - [mm] x_j)$ [/mm] ist, mit der passenden Verschiebung der Indices.)

Folglich ist mit der Formel $n [mm] \det(\lambda E_n [/mm] - M) = n [mm] (-1)^{n-1} (\det [/mm] M - [mm] v^T D^\# [/mm] (e/n)) = n [mm] \prod_{i=1}^{n-1} (\lambda [/mm] - [mm] x_i) [/mm] + [mm] \sum_{i=1}^{n-1} (x_i [/mm] - [mm] x_0) \cdot \prod_{j=1 \atop j \neq i}^{n-1} (\lambda [/mm] - [mm] x_j) [/mm] = [mm] \prod_{i=1}^{n-1} (\lambda [/mm] - [mm] x_i) [/mm] + [mm] \sum_{i=1}^{n-1} \biggl( (x_i [/mm] - [mm] x_0) \cdot \prod_{j=1 \atop j \neq i}^{n-1} (\lambda [/mm] - [mm] x_j) [/mm] + [mm] (\lambda [/mm] - [mm] x_i) \prod_{j=1 \atop j \neq i}^{n-1} (\lambda [/mm] - [mm] x_j) \biggr) [/mm] = [mm] \prod_{i=1}^{n-1} (\lambda [/mm] - [mm] x_i) [/mm] + [mm] \sum_{i=1}^{n-1} (x_i [/mm] - [mm] x_0 [/mm] + [mm] \lambda [/mm] - [mm] x_i) \cdot \prod_{j=1 \atop j \neq i}^{n-1} (\lambda [/mm] - [mm] x_j) [/mm] = [mm] \prod_{i=0 \atop i \neq 0}^{n-1} (\lambda [/mm] - [mm] x_i) [/mm] + [mm] \sum_{i=1}^{n-1} (\lambda [/mm] - [mm] x_0) \prod_{j=1 \atop j \neq i}^{n-1} (\lambda [/mm] - [mm] x_j) [/mm] = [mm] \prod_{i=0 \atop i \neq 0}^{n-1} (\lambda [/mm] - [mm] x_i) [/mm] + [mm] \sum_{i=1}^{n-1} \prod_{j=0 \atop j \neq i}^{n-1} (\lambda [/mm] - [mm] x_j) [/mm] = [mm] f'(\lambda)$. [/mm]

Damit hast du jetzt einen schoenen formalen Beweis der Aussage, der nicht mehr so wischi-waschi ist wie der aus dem Preprint...

LG Felix


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de