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| Aufgabe | Sei $(M,d)$ ein ultrametrischer Raum . Für [mm] $x\in [/mm] M; r > 0$ sei $B(x, r) := [mm] \left\{y\in M : d(x, y) < r\right\}$.
[/mm]
Man zeige:
Jede Kugel $B(x, r)$ ist sowohl o en als auch abgeschlossen. |
Hallo!
ich habe Verständnisprobleme bei der Lösung zur obigen Aufgabe, sie lautet:
Beweis: Sei [mm] $y\in M\backslash [/mm] B(x,r)$. Fur alle [mm] $z\in [/mm] B(x,r)$ gilt [mm] $d(x,y)\geq [/mm] r > d(x, z)$, und deshalb nach (a)
$d(y, z) = d(x, y) [mm] \geq [/mm] r$. Damit ist [mm] $z\notin [/mm] B(y,r)$, also $B(y, [mm] r)\cap [/mm] B(x, r) [mm] =\emptyset$.
[/mm]
Kann mir jemand sagen, wieso dies die Aufgabe löst, sprich das ganze ein bisschen aufdröseln?
Wäre super dankbar!
Herzlich Grüße,
Lorenz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:59 Do 22.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Beweis: Sei [mm]y\in M\backslash B(x,r)[/mm]. Fur alle [mm]z\in B(x,r)[/mm]
> gilt [mm]d(x,y)\geq r > d(x, z)[/mm], und deshalb nach (a)
Und die (a) sagt was?
> [mm]d(y, z) = d(x, y) \geq r[/mm]. Damit ist [mm]z\notin B(y,r)[/mm], also
> [mm]B(y, r)\cap B(x, r) =\emptyset[/mm].
>
> Kann mir jemand sagen, wieso dies die Aufgabe löst, sprich
> das ganze ein bisschen aufdröseln?
Du verschweigst die (a)! Allerdings: der Ball B ist abgeschlossen, wenn das Komplement offen ist, um jeden Punkt y findest du aber einen Ball, der ganz im Komplement liegt, daher ist B abgeschlossen. Die Abschätzungen beziehen sich auch auf die (a) (die ich mir übrigens quasi ergooglet habe), und sind doch alle nachvollziehbar - an welcher hakt es?
SEcki
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