Partialbruchzerlegung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:21 Di 12.04.2011 | | Autor: | studi_mr |
| Aufgabe | Bestimme die Partialbruchzerlegung der rationalen Funktionen:
R(x) = [mm] \frac{36}{x^5-2x^4-2x^3+4x^2+x-2}\\
[/mm]
= [mm] \dfrac [/mm] {36} [mm] {(x-2)(x+1)^{2}(x-1)^{2}} \\
[/mm]
= [mm] \frac [/mm] {a}{x-2} + [mm] \frac {b}{(x+1)^{2}} [/mm] + [mm] \frac {c}{(x-1)^{2}} \\
[/mm]
mit [mm] \lambda_1 [/mm] = 2 , [mm] \lambda_2 [/mm] = -1 , [mm] \lambda_3 [/mm] = 1 ; [mm] \lambda_2 [/mm] , [mm] \lambda_3 [/mm] sind doppelte Nullstellen.
[mm] \\
[/mm]
Zuhaltemethode:
[mm] \\
[/mm]
fuer a: [mm] \\
[/mm]
[mm] \frac {36}{(x-2)(x+1)^{2} (x-1)^{2}} \\ [/mm] = [mm] \bruch{a}{x-2} [/mm] + [mm] \frac{b}{(x+1)^{2}} +\frac{c}{(x-1)^{2}}
[/mm]
[mm] \\
[/mm]
mit (x-2) multipl.:
[mm] \\
[/mm]
[mm] \frac{36}{(x+1)^{2}(x-1)^{2}} \\ [/mm] = a + (x-2) * ( [mm] \frac{b}{(x+1)^{2}} [/mm] + [mm] \frac{c}{(x-1^{2})} [/mm] )
[mm] \\
[/mm]
für x 2 einsetzen:
[mm] \\
[/mm]
[mm] \frac{36}{(2+1)^{2}*(2-1^{2}} [/mm] = a
[mm] \\
[/mm]
a= [mm] \frac{36}{9} [/mm] = 4
[mm] \\
[/mm]
fuer b: [mm] \\
[/mm]
[mm] \dfrac{36}{(x-1)^{2}(x-2)^{2}}= [/mm] b + [mm] (x+1)^{2} [/mm] * ( [mm] \frac{a}{x-2} [/mm] + [mm] \frac {b}{(x-1)^{2}})\\
[/mm]
[mm] \\
[/mm]
setzte x = 1:
[mm] \\
[/mm]
b = [mm] \frac{36}{(-1-1)^{2}*(-1-2)^{2}} \\ [/mm] = [mm] \frac{36}{18}=2
[/mm]
[mm] \\
[/mm]
fuer c:
[mm] \\
[/mm]
[mm] \frac {36}{(x-2)(x+1)^{2} (x-1)^{2}} \\ [/mm] = [mm] \frac [/mm] {a}{x-2} + [mm] \frac{b}{(x+1)^{2}} +\frac{c}{(x-1)^{2}}
[/mm]
[mm] \\
[/mm]
[mm] \frac{36}{(x-2)(x+1)^{2}} [/mm] = c + [mm] (x-1)^{2} [/mm] * [mm] (\frac{a}{x-2} [/mm] + [mm] \frac{b}{(x+1)^{2}})
[/mm]
[mm] \\
[/mm]
setzte x = 1
[mm] \\
[/mm]
[mm] \frac{36}{(1-2)(1+1)^{2}} [/mm] = [mm] \frac{36}{-4} [/mm] = -9
[mm] \\
[/mm]
dann ist a = 4, b = 2 und c = -9
[mm] \\
[/mm]
und insg.: [mm] \\
[/mm]
[mm] \dfrac {36}{(x-2)(x+1)^{2} (x-1)^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{4}{x-2} [/mm] + [mm] \frac{2}{(x+1)^{2}} +\frac{-9}{(x-1)^{2}} [/mm] |
Ich hab geschaut wie das funktioniert, weiß aber nicht, ob das alles so stimmt bzw. der richtige Weg ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo studi_mr,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Bestimme die Partialbruchzerlegung der rationalen
> Funktionen:
>
> R(x) = [mm]\frac{36}{x^5-2x^4-2x^3+4x^2+x-2}\\[/mm]
>
>
>
> = [mm]\dfrac[/mm] {36} [mm]{(x-2)(x+1)^{2}(x-1)^{2}} \\[/mm]
> = [mm]\frac[/mm]
> {a}{x-2} + [mm]\frac {b}{(x+1)^{2}}[/mm] + [mm]\frac {c}{(x-1)^{2}} \\[/mm]
>
> mit [mm]\lambda_1[/mm] = 2 , [mm]\lambda_2[/mm] = -1 , [mm]\lambda_3[/mm] = 1 ;
> [mm]\lambda_2[/mm] , [mm]\lambda_3[/mm] sind doppelte Nullstellen.
> [mm]\\[/mm]
> Zuhaltemethode:
> [mm]\\[/mm]
> fuer a: [mm]\\[/mm]
> [mm]\frac {36}{(x-2)(x+1)^{2} (x-1)^{2}} \\[/mm] = [mm]\bruch{a}{x-2}[/mm] +
> [mm]\frac{b}{(x+1)^{2}} +\frac{c}{(x-1)^{2}}[/mm]
> [mm]\\[/mm]
Hier muss schon die Nullstellen +1, -1
entsprechend ihrer Vielfachheit berücksichtigen.
Daher lauter der korrekte Ansatz:
[mm]\bruch {36}{(x-2)(x+1)^{2}(x-1)^{2}}=\bruch{a}{x-2}+\blue{\bruch{b_{1}}{x+1}}+\bruch{b_{2}}{\left(x+1\right)^{2}}+\blue{\bruch{c_{1}}{x-1}}+\bruch{c_{2}}{\left(x-1\right)^{2}}[/mm]
> mit (x-2) multipl.:
> [mm]\\[/mm]
> [mm]\frac{36}{(x+1)^{2}(x-1)^{2}} \\[/mm] = a + (x-2) * (
> [mm]\frac{b}{(x+1)^{2}}[/mm] + [mm]\frac{c}{(x-1^{2})}[/mm] )
> [mm]\\[/mm]
> für x 2 einsetzen:
> [mm]\\[/mm]
> [mm]\frac{36}{(2+1)^{2}*(2-1^{2}}[/mm] = a
> [mm]\\[/mm]
> a= [mm]\frac{36}{9}[/mm] = 4
> [mm]\\[/mm]
> fuer b: [mm]\\[/mm]
> [mm]\dfrac{36}{(x-1)^{2}(x-2)^{2}}=[/mm] b + [mm](x+1)^{2}[/mm] * (
> [mm]\frac{a}{x-2}[/mm] + [mm]\frac {b}{(x-1)^{2}})\\[/mm]
> [mm]\\[/mm]
> setzte x = 1:
> [mm]\\[/mm]
> b = [mm]\frac{36}{(-1-1)^{2}*(-1-2)^{2}} \\[/mm] = [mm]\frac{36}{18}=2[/mm]
> [mm]\\[/mm]
> fuer c:
> [mm]\\[/mm]
> [mm]\frac {36}{(x-2)(x+1)^{2} (x-1)^{2}} \\[/mm] = [mm]\frac[/mm] {a}{x-2} +
> [mm]\frac{b}{(x+1)^{2}} +\frac{c}{(x-1)^{2}}[/mm]
> [mm]\\[/mm]
> [mm]\frac{36}{(x-2)(x+1)^{2}}[/mm] = c + [mm](x-1)^{2}[/mm] * [mm](\frac{a}{x-2}[/mm]
> + [mm]\frac{b}{(x+1)^{2}})[/mm]
> [mm]\\[/mm]
> setzte x = 1
> [mm]\\[/mm]
> [mm]\frac{36}{(1-2)(1+1)^{2}}[/mm] = [mm]\frac{36}{-4}[/mm] = -9
>
> [mm]\\[/mm]
> dann ist a = 4, b = 2 und c = -9
> [mm]\\[/mm]
> und insg.: [mm]\\[/mm]
> [mm]\dfrac {36}{(x-2)(x+1)^{2} (x-1)^{2}}[/mm] = [mm]\bruch{4}{x-2}[/mm] +
> [mm]\frac{2}{(x+1)^{2}} +\frac{-9}{(x-1)^{2}}[/mm]
> Ich hab geschaut
> wie das funktioniert, weiß aber nicht, ob das alles so
> stimmt bzw. der richtige Weg ist.
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Di 12.04.2011 | | Autor: | studi_mr |
| Aufgabe | Erstmal danke für die schnelle Antwort und für die herzliche Begrüßung.
[mm] \\
[/mm]
Okay, das habe ich übersehen:
[mm] \\
[/mm]
[mm] \bruch{36}{(x-2)(x+1)^2(x-1)^2} [/mm] = [mm] \bruch [/mm] {a}{x-2} + [mm] \bruch{b1}{x+1} [/mm] + [mm] \bruch{b2}{(x+1)^2} [/mm] + [mm] \bruch{c1}{x-1} [/mm] + [mm] \bruch {c1}{(x-1)^2}
[/mm]
[mm] \\
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{36}{(x+1)^2 * (x-1)^2}= [/mm] a + (x-2) * (...)
[mm] \\
[/mm]
setzte x = 2
[mm] \\
[/mm]
[mm] \bruch{36}{(2+1)^2*(2-1)^2} [/mm] = bruch {36}{9} = 4 [mm] \\
[/mm]
also da ändert sich nichts.
für b dann:
[mm] \\
[/mm]
[mm] \bruch{36}{(x-2)(x+1)^2(x-1)^2} [/mm] = [mm] \bruch [/mm] {a}{x-2} + [mm] \bruch{b1}{x+1} [/mm] + [mm] \bruch{b2}{(x+1)^2} [/mm] + [mm] \bruch{c1}{x-1} [/mm] + [mm] \bruch {c1}{(x-1)^2}
[/mm]
[mm] \\
[/mm]
Gleichung mit [mm] (x+1)^2 [/mm] multiplizieren
[mm] \\
[/mm]
[mm] \RightArrow \bruch{36}{(x-2)(x-1)^2} [/mm] = b2 + [mm] (x+1)^2 [/mm] * (...)
[mm] \\
[/mm]
setzte x = -1
[mm] \\
[/mm]
b2 = 36/12= 3
[mm] \\
[/mm]
dann c:
mit [mm] (x-1)^2 [/mm] mulitplizieren und x = 1 setzen, ich erhalte für c2 = -9.
[mm] \\\\\\
[/mm]
Jetzt habe ich das Problem der doppelten Nullstellen,
weil ich mit der Zuhaltemethode b1,c1 nicht heraus bekomme.
Ein Vorschlag den ich dazu gefunden habe ist der Koeffizientenvergleich.
[mm] \bruch{36}{(x-2)(x+1)^2(x-1)^2} [/mm] = [mm] \bruch{4}{x-2}+ \bruch{b1}{x+1}+
[/mm]
[mm] \bruch{3}{(x+1)^2}+\bruch{c1}{x-1}+\bruch{-9}{(x+1)^2}.
[/mm]
Ich soll die bekannten Summanden auf die Seite mit der Ausgangsgleichung bringen.
Ich bekomme:
[mm] \\
[/mm]
[mm] \bruch{b1}{x+1}+ \bruch{c1}{x-1} [/mm] = [mm] \bruch{36}{(x-2)(x+1)^2(x-1)^2}- \bruch{4}{x-2} [/mm] - [mm] \bruch{3}{(x+1)^2} [/mm] + [mm] \bruch{9}{(x-1)^2}
[/mm]
[mm] =\bruch{-4x-10}{(x+1)^2}
[/mm]
Dann habe ich eine Gleichung mit 2 Variablen...
Hallo studi_mr,
> Bestimme die Partialbruchzerlegung der rationalen
> Funktionen:
>
> R(x) = $ [mm] \frac{36}{x^5-2x^4-2x^3+4x^2+x-2}\\ [/mm] $
>
>
>
> = $ [mm] \dfrac [/mm] $ {36} $ [mm] {(x-2)(x+1)^{2}(x-1)^{2}} \\ [/mm] $
> = $ [mm] \frac [/mm] $
> {a}{x-2} + $ [mm] \frac {b}{(x+1)^{2}} [/mm] $ + $ [mm] \frac {c}{(x-1)^{2}} \\ [/mm] $
>
> mit $ [mm] \lambda_1 [/mm] $ = 2 , $ [mm] \lambda_2 [/mm] $ = -1 , $ [mm] \lambda_3 [/mm] $ = 1 ;
> $ [mm] \lambda_2 [/mm] $ , $ [mm] \lambda_3 [/mm] $ sind doppelte Nullstellen.
> $ [mm] \\ [/mm] $
> Zuhaltemethode:
> $ [mm] \\ [/mm] $
> fuer a: $ [mm] \\ [/mm] $
> $ [mm] \frac {36}{(x-2)(x+1)^{2} (x-1)^{2}} \\ [/mm] $ = $ [mm] \bruch{a}{x-2} [/mm] $ +
> $ [mm] \frac{b}{(x+1)^{2}} +\frac{c}{(x-1)^{2}} [/mm] $
> $ [mm] \\ [/mm] $
Hier muss schon die Nullstellen +1, -1
entsprechend ihrer Vielfachheit berücksichtigen.
Daher lauter der korrekte Ansatz:
$ [mm] \bruch {36}{(x-2)(x+1)^{2}(x-1)^{2}}=\bruch{a}{x-2}+\blue{\bruch{b_{1}}{x+1}}+\bruch{b_{2}}{\left(x+1\right)^{2}}+\blue{\bruch{c_{1}}{x-1}}+\bruch{c_{2}}{\left(x-1\right)^{2}} [/mm] $
> mit (x-2) multipl.:
> $ [mm] \\ [/mm] $
> $ [mm] \frac{36}{(x+1)^{2}(x-1)^{2}} \\ [/mm] $ = a + (x-2) * (
> $ [mm] \frac{b}{(x+1)^{2}} [/mm] $ + $ [mm] \frac{c}{(x-1^{2})} [/mm] $ )
> $ [mm] \\ [/mm] $
> für x 2 einsetzen:
> $ [mm] \\ [/mm] $
> $ [mm] \frac{36}{(2+1)^{2}\cdot{}(2-1^{2}} [/mm] $ = a
> $ [mm] \\ [/mm] $
> a= $ [mm] \frac{36}{9} [/mm] $ = 4
> $ [mm] \\ [/mm] $
> fuer b: $ [mm] \\ [/mm] $
> $ [mm] \dfrac{36}{(x-1)^{2}(x-2)^{2}}= [/mm] $ b + $ [mm] (x+1)^{2} [/mm] $ * (
> $ [mm] \frac{a}{x-2} [/mm] $ + $ [mm] \frac {b}{(x-1)^{2}})\\ [/mm] $
> $ [mm] \\ [/mm] $
> setzte x = 1:
> $ [mm] \\ [/mm] $
> b = $ [mm] \frac{36}{(-1-1)^{2}\cdot{}(-1-2)^{2}} \\ [/mm] $ = $ [mm] \frac{36}{18}=2 [/mm] $
> $ [mm] \\ [/mm] $
> fuer c:
> $ [mm] \\ [/mm] $
> $ [mm] \frac {36}{(x-2)(x+1)^{2} (x-1)^{2}} \\ [/mm] $ = $ [mm] \frac [/mm] $ {a}{x-2} +
> $ [mm] \frac{b}{(x+1)^{2}} +\frac{c}{(x-1)^{2}} [/mm] $
> $ [mm] \\ [/mm] $
> $ [mm] \frac{36}{(x-2)(x+1)^{2}} [/mm] $ = c + $ [mm] (x-1)^{2} [/mm] $ * $ [mm] (\frac{a}{x-2} [/mm] $
> + $ [mm] \frac{b}{(x+1)^{2}}) [/mm] $
> $ [mm] \\ [/mm] $
> setzte x = 1
> $ [mm] \\ [/mm] $
> $ [mm] \frac{36}{(1-2)(1+1)^{2}} [/mm] $ = $ [mm] \frac{36}{-4} [/mm] $ = -9
>
> $ [mm] \\ [/mm] $
> dann ist a = 4, b = 2 und c = -9
> $ [mm] \\ [/mm] $
> und insg.: $ [mm] \\ [/mm] $
> $ [mm] \dfrac {36}{(x-2)(x+1)^{2} (x-1)^{2}} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{4}{x-2} [/mm] $ +
> $ [mm] \frac{2}{(x+1)^{2}} +\frac{-9}{(x-1)^{2}} [/mm] $
> Ich hab geschaut
> wie das funktioniert, weiß aber nicht, ob das alles so
> stimmt bzw. der richtige Weg ist.
>
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>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower |
Wie kann ich das lösen?
Gruss studi_mr
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Hallo, ich habe es mit Koeffizientenvergleich gerechnet
[mm] \bruch{36}{x^{5}-2x^{4}-2x^{3}+4x^{2}+x-2}=\bruch{a}{x-2}+\bruch{b_1}{x+1}+\bruch{b_2}{(x+1)^{2}}+\bruch{c_1}{x-1}+\bruch{c_2}{(x-1)^{2}}
[/mm]
jetzt rechts alle Brüche erweitern, der Hauptnenner ist [mm] (x-2)*(x+1)^{2}*(x-1)^{2}
[/mm]
[mm] \bruch{36}{(x-2)*(x+1)^{2}*(x-1)^{2}}=\bruch{a*(x^{4}-2x^{2}+1)}{(x-2)*(x+1)^{2}*(x-1)^{2}}+\bruch{b_1*(x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x-2)}{(x-2)*(x+1)^{2}*(x-1)^{2}}+\bruch{b_2*(x^{3}-4x^{2}+5x-2)}{ (x-2)*(x+1)^{2}*(x-1)^{2}}+\bruch{c_1*(x^{4}-x^{3}-3x^{2}+x+2)}{ (x-2)*(x+1)^{2}*(x-1)^{2}}+\bruch{c_2*(x^{3}-3x-2)}{ (x-2)*(x+1)^{2}*(x-1)^{2}}
[/mm]
jetzt betrachte die Zähler, mache Koeffizientenvergleich
für [mm] x^{4} [/mm] ergibt sich [mm] 0=a+b_1+c_1
[/mm]
für [mm] x^{3} [/mm] ergibt sich [mm] 0=-3b_1+b_2-c_1+c_2
[/mm]
für [mm] x^{2} [/mm] ergibt sich [mm] 0=-2a+b_1-4b_2-3c_1
[/mm]
für [mm] x^{1} [/mm] ergibt sich [mm] 0=3b_1+5b_2+c_1-3c_2
[/mm]
für [mm] x^{0} [/mm] ergibt sich [mm] 36=a-2b_1-2b_2+2c_1-2c_2
[/mm]
jetzt das Gleichungssystem lösen, dein Ziel
a=4
[mm] b_1=-4
[/mm]
[mm] b_2=-3
[/mm]
[mm] c_1=0
[/mm]
[mm] c_2=-9
[/mm]
eigentlich ist eine solche Aufgabe nur "dumm" rechnen, entschuldige bitte den Ausdruck, wer die Vorgehensweise bei der PBZ kapiert hat, benutzt kleine Helferlein, diese Aufgabe ist nur zum Üben elementarster Rechenschritte geeignet, meine Meinung dazu
Steffi
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Di 12.04.2011 | | Autor: | studi_mr |
Wie kommst du von dem von dir aufgeführten System auf das Gleichungssystem? Ich kapiere den Koeffizientenvergleich noch nicht so wirklich.
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Hallo, auf beiden Seiten der Gleichung steht ja der gleiche Nenner [mm] (x-2)*(x+1)^{2}*(x-1)^{2} [/mm] betrachten wir also nur noch die Zähler
[mm] 36=a_1*(x^{4}-2x^{2}+1)+b_1*(x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x-2)+b_2*(x^{3}-4x^{2}+5x-2)+c_1*(x^{4}-x^{3}-3x^{2}+x+2)+c_2(x^{3}-3x-2)
[/mm]
[mm] 36=a_1*x^{4}-2*a_1*x^{2}+a_1+b_1*x^{4}-3*b_1*x^{3}+b_1*x^{2}+3*b_1*x-2*b_1+b_2*x^{3}-4*b_2*x^{2}+5*b_2*x-2*b_2+c_1*x^{4}-c_1*x^{3}-3*c_1*x^{2}+c_1*x+2*c_1+c_2*x^{3}-3*c_2*x-2*c_2
[/mm]
jetzt sortieren nach den Potenzen und ausklammern
[mm] 36=(a+b_1+c_1)*x^{4}+(-3b_1+b_2-c_1+c_2)*x^{3}+(-2a+b_1-4b_2-3c_1)*x^{2}+(3b_1+5b_2+c_1-3c_2)*x+(a-2b_1-2b_2+2c_1-2c_2)
[/mm]
damit du den Koeffizientenvergleich besser siehst schreibe ich links dazu
[mm] 0*x^{4}+0*x^{3}+0*x^{2}+0*x+36=(a+b_1+c_1)*x^{4}+(-3b_1+b_2-c_1+c_2)*x^{3}+(-2a+b_1-4b_2-3c_1)*x^{2}+(3b_1+5b_2+c_1-3c_2)*x+(a-2b_1-2b_2+2c_1-2c_2)
[/mm]
jetzt vergleichst du die Koeffizienten auf beiden Seiten der Gleichung:
für [mm] x^{4} [/mm] bekommst du [mm] 0=a+b_1+c_1
[/mm]
für [mm] x^{3} [/mm] bekommst du [mm] 0=-3b_1+b_2-c_1+c_2
[/mm]
für [mm] x^{2} [/mm] bekommst du [mm] 0=-2a+b_1-4b_2-3c_1
[/mm]
für [mm] x^{1} [/mm] bekommst du [mm] 0=3b_1+5b_2+c_1-3c_2
[/mm]
für [mm] x^{0} [/mm] bekommst du [mm] 36=a-2b_1-2b_2+2c_1-2c_2
[/mm]
wie gesagt, hat man das Verfahren der PBZ drin, ist diese Aufgabe nur "dumm" rechnen, dafür gibt es Helferlein,
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:54 Di 12.04.2011 | | Autor: | studi_mr |
Ja vielen Dank Steffi und Mathepower.
Da hatte ich wohl eben ein Brett vorm Kopf/ vor den Augen.
Auf jeden Fall wirklich schnell und gute Hilfe!
lg
studi_mr
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