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| Aufgabe | Sei p ein Polynom mit p(0)=0 und p'(0)=1, also
p(z)= [mm] z+a_2x^{2}+...+a_nx^{n}. [/mm] Ist [mm] p'(z)\not=0 [/mm] für alle |z|<1, dann gilt [mm] |a_n|\le\bruch{1}{n} [/mm] |
Kann mir jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen? Irgendwie sieht sie nicht schwer aus, aber ich weiß trotzdem nicht, wie ich da ansetzen kann.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:22 Fr 19.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Es ist
$p'(z) = 1+2a_2z+ ... [mm] +na_nz^{n-1}$
[/mm]
Sind [mm] c_1, ...,c_{n-1} [/mm] die Nullstellen von p', so gilt
(*) $p'(z) = [mm] na_n(z-c_1)*...*(z-c_{n-1})$
[/mm]
Wegen $ [mm] p'(z)\not=0 [/mm] $ für alle |z|<1, folgt: [mm] $|c_j| \ge [/mm] 1$ (j=1,...,n-1).
Also auch
[mm] $|c_1|*...*|c_{n-1}| \ge [/mm] 1$
Mit p'(0) = 1 ergibt sich aus (*):
$1 = |p'(0)| = [mm] n|a_n||c_1|*...*|c_{n-1}| \ge n|a_n|$
[/mm]
FRED
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