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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:08 Di 30.06.2009 | | Autor: | D-C |
| Aufgabe | Die Abbildung [mm] \phi [/mm] : {1, 2, 3, 4} [mm] \to [/mm] {1, 2, 3, 4}
1 [mm] \to [/mm] 3, 2 [mm] \to [/mm] 1, 3 [mm] \to [/mm] 4, 4 [mm] \to [/mm] 1
ist ein Element von S4. Schreiben Sie [mm] \phi [/mm] als Produkt von Transpositionen und berechnen
Sie das Signum von [mm] \phi. [/mm] |
Also das Signum von [mm] \phi [/mm] hab ich folgendermaßen berechnet:
1 wird auf 3 abgebildet 1 [mm] \to [/mm] 3
2 wird auf 1 abgebildet 2 [mm] \to [/mm] 1
3 wird auf 4 abgebildet 3 [mm] \to [/mm] 4
4 wird auf 1 abgebildet 4 [mm] \to [/mm] 1
Anders geschrieben:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 1 }
[/mm]
Dann fange ich in der unteren Zeile links an und überprüfe immer, ob von der gerade ausgewählten Zahl n danach n + 1 kommt .
3 [mm] \to [/mm] 1 falsch = [mm] (-1)^{1}
[/mm]
1 [mm] \to [/mm] 4 falsch = [mm] (-1)^{1+1}
[/mm]
4 [mm] \to [/mm] 1 falsch = [mm] (-1)^{1+1+1}
[/mm]
also [mm] (-1)^{1+1+1} \Rightarrow sgn(\phi) [/mm] = -1
Stimmt das soweit?
Aber wie komme ich an das Produkt von Transpositionen? Der Ansatz dürfte ja auch wieder
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 1 }
[/mm]
sein ...
Gruß
D-C
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:19 Di 30.06.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
> Die Abbildung [mm]\phi[/mm] : {1, 2, 3, 4} [mm]\to[/mm] {1, 2, 3, 4}
> 1 [mm]\to[/mm] 3, 2 [mm]\to[/mm] 1, 3 [mm]\to[/mm] 4, 4 [mm]\to[/mm] 1
> ist ein Element von S4. Schreiben Sie [mm]\phi[/mm] als Produkt von
> Transpositionen und berechnen
> Sie das Signum von [mm]\phi.[/mm]
> Also das Signum von [mm]\phi[/mm] hab ich folgendermaßen
> berechnet:
>
> 1 wird auf 3 abgebildet 1 [mm]\to[/mm] 3
> 2 wird auf 1 abgebildet 2 [mm]\to[/mm] 1
> 3 wird auf 4 abgebildet 3 [mm]\to[/mm] 4
> 4 wird auf 1 abgebildet 4 [mm]\to[/mm] 1
>
Hast du das auch richtig abgetippt?
> Anders geschrieben:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 1 }[/mm]
>
> Dann fange ich in der unteren Zeile links an und
> überprüfe immer, ob von der gerade ausgewählten Zahl n
> danach n + 1 kommt .
Das Signum berechnet sich ja anhand der Fehlstände von [mm] \phi.. [/mm] für diese musst du alle Paare i,j mit i < j aber [mm] \phi(i) [/mm] > [mm] \phi(j) [/mm] betrachten. (Und der Übergang von 1 [mm] \rightarrow [/mm] 4 ist ja nicht falsch)
>
> 3 [mm]\to[/mm] 1 falsch = [mm](-1)^{1}[/mm]
> 1 [mm]\to[/mm] 4 falsch = [mm](-1)^{1+1}[/mm]
> 4 [mm]\to[/mm] 1 falsch = [mm](-1)^{1+1+1}[/mm]
>
> also [mm](-1)^{1+1+1} \Rightarrow sgn(\phi)[/mm] = -1
>
> Stimmt das soweit?
>
>
> Aber wie komme ich an das Produkt von Transpositionen? Der
> Ansatz dürfte ja auch wieder
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 1 }[/mm]
>
> sein ...
>
>
> Gruß
>
> D-C
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:06 Di 30.06.2009 | | Autor: | D-C |
Ab dem "Also... " stammt der Inhalt von mir, davor die Aufgabenstellung sollte nicht falsch abgetippt sein, da copy&paste ; )
> Das Signum berechnet sich ja anhand der Fehlstände von für diese
> musst du alle Paare i,j mit i < j aber > betrachten. (Und der Übergang
> von 1 [mm] \to [/mm] 4 ist ja nicht falsch)
Ah ok, dachte das dürfte immer nur n+1 sein...
Demnach müsste ja
3 [mm] \to [/mm] 1 falsch = [mm] (-1)^{1}
[/mm]
1 [mm] \to [/mm] 4 richtig = [mm] (-1)^{1}
[/mm]
4 [mm] \to [/mm] 1 falsch = [mm] (-1)^{1+1}
[/mm]
also = [mm] (-1)^{1+1} \Rightarrow sgn(\phi) [/mm] = 1 ?
Gruß
D-C
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Hallo
> Ab dem "Also... " stammt der Inhalt von mir, davor die
> Aufgabenstellung sollte nicht falsch abgetippt sein, da
> copy&paste ; )
Also geht deine 4 nicht auf die 2 oder so anstatt auf die 1.. ok :)
> Ah ok, dachte das dürfte immer nur n+1 sein...
>
> Demnach müsste ja
>
> 3 [mm]\to[/mm] 1 falsch = [mm](-1)^{1}[/mm]
> 1 [mm]\to[/mm] 4 richtig = [mm](-1)^{1}[/mm]
> 4 [mm]\to[/mm] 1 falsch = [mm](-1)^{1+1}[/mm]
>
> also = [mm](-1)^{1+1} \Rightarrow sgn(\phi)[/mm] = 1 ?
Du hast den Übergang von 3 [mm] \rightarrow [/mm] 1 zwei Mal.
>
>
> Gruß
>
> D-C
Sonst, für die Darstellung als Produkt von Transpositionen sei mal gesagt, dass eine solche Darstellung nicht eindeutig ist.
Das einfachste denke ich: Zuerst darstellen als Produkt von elementfremden Zyklen und dann aufspalten. (Transposition ist ein Zyrkel der Länge 2).
Lösungsvorschlag ohne Gewähr :)
Grüsse, Amaro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Di 30.06.2009 | | Autor: | D-C |
> > Demnach müsste ja
> >
> > 3 [mm]\to[/mm] 1 falsch = [mm](-1)^{1}[/mm]
> > 1 [mm]\to[/mm] 4 richtig = [mm](-1)^{1}[/mm]
> > 4 [mm]\to[/mm] 1 falsch = [mm](-1)^{1+1}[/mm]
> >
> > also = [mm](-1)^{1+1} \Rightarrow sgn(\phi)[/mm] = 1 ?
>
> Du hast den Übergang von 3 [mm]\rightarrow[/mm] 1 zwei Mal.
Wo habe ich denn bei
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 1}
[/mm]
zwei mal den Übergang, ist bei der 1 am Ende nicht Schluss?
>
> Sonst, für die Darstellung als Produkt von Transpositionen
> sei mal gesagt, dass eine solche Darstellung nicht
> eindeutig ist.
> Das einfachste denke ich: Zuerst darstellen als Produkt
> von elementfremden Zyklen und dann aufspalten.
> (Transposition ist ein Zyrkel der Länge 2).
>
> Lösungsvorschlag ohne Gewähr :)
>
> Grüsse, Amaro
Meinst Du mit aufspalten: (hab da bisher nur ein Beispiel zu und weiß von daher nicht genau, ob das so richtig ist... )
(4 1) (3 4) (2 1) (1 3) ?
Gruß
D-C
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> > > Demnach müsste ja
> > >
> > > 3 [mm]\to[/mm] 1 falsch = [mm](-1)^{1}[/mm]
> > > 1 [mm]\to[/mm] 4 richtig = [mm](-1)^{1}[/mm]
> > > 4 [mm]\to[/mm] 1 falsch = [mm](-1)^{1+1}[/mm]
> > >
> > > also = [mm](-1)^{1+1} \Rightarrow sgn(\phi)[/mm] = 1 ?
> >
> > Du hast den Übergang von 3 [mm]\rightarrow[/mm] 1 zwei Mal.
>
> Wo habe ich denn bei
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 1}[/mm]
>
> zwei mal den Übergang, ist bei der 1 am Ende nicht
> Schluss?
>
>
Du musst dir jedes PAAR i,j, i [mm] \not= [/mm] j ansehen:
3 [mm] \rightarrow [/mm] 1 [mm] \Rightarrow [/mm] falsch (i = 1, j = 2)
3 [mm] \rightarrow [/mm] 4 [mm] \Rightarrow [/mm] richtig (i = 1, j = 3)
3 [mm] \rightarrow [/mm] 1 [mm] \Rightarrow [/mm] falsch (i = 1, j = 4)
1 [mm] \rightarrow [/mm] 4 [mm] \Rightarrow [/mm] richtig (i = 2, j = 3)
1 [mm] \rightarrow [/mm] 1 [mm] \Rightarrow [/mm] richtig (i = 2, j = 4)
4 [mm] \rightarrow [/mm] 1 [mm] \Rightarrow [/mm] falsch (i = 3, j = 4)
Die Zerlegung schaue ich mir später noch an.. aber mal als Definition:
- Zyklen sind elementfremd, wenn sie keine Ziffer gemeinsam haben
- elementfremde Zyklen lassen sich in ihrer Reihenfolge vertauschen
Darum bin ich mir bei dieser Aufgabe nicht sicher, da die 1 zwei Mal vorkommt...
Grüsse, Amaro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:58 Di 30.06.2009 | | Autor: | D-C |
> Du musst dir jedes PAAR i,j, i [mm]\not=[/mm] j ansehen:
>
> 3 [mm]\rightarrow[/mm] 1 [mm]\Rightarrow[/mm] falsch (i = 1, j = 2)
> 3 [mm]\rightarrow[/mm] 4 [mm]\Rightarrow[/mm] richtig (i = 1, j = 3)
> 3 [mm]\rightarrow[/mm] 1 [mm]\Rightarrow[/mm] falsch (i = 1, j = 4)
> 1 [mm]\rightarrow[/mm] 4 [mm]\Rightarrow[/mm] richtig (i = 2, j = 3)
> 1 [mm]\rightarrow[/mm] 1 [mm]\Rightarrow[/mm] richtig (i = 2, j = 4)
> 4 [mm]\rightarrow[/mm] 1 [mm]\Rightarrow[/mm] falsch (i = 3, j = 4)
Achso :), danke jetzt hab ichs begriffen.
>
> Die Zerlegung schaue ich mir später noch an.. aber mal als
> Definition:
>
> - Zyklen sind elementfremd, wenn sie keine Ziffer
> gemeinsam haben
> - elementfremde Zyklen lassen sich in ihrer Reihenfolge
> vertauschen
>
> Darum bin ich mir bei dieser Aufgabe nicht sicher, da die 1
> zwei Mal vorkommt...
>
> Grüsse, Amaro
Ja, da bin ich auch noch drüber gestolpert. Hatte auch mal als Zerlegung
(4 1) (3 4) ( 2 1) (1 3) (1 1)
bin mir da aber nicht sicher...
Gruß
D-C
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