Punkte auf einem Schnittkreis < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben ist die Kugel K: [mm] [\vec{x}-\vektor{2 \\ 1\\2}]²=9 [/mm] sowie die Ebene E: -x+2y+2z=8.
A) Berechnen Sie den Schnittkreis zwischen Kugel und Ebene
B) Zeigen Sie wie jeder beliebige, sich außen auf dem Schnittkreis befindliche Punkt errechnet werden kann. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo.
Ich habe mit der Aufgabe begonnen und folgenden Schnittkreis errechnet:
[mm] M_{s} (\bruch{14}{9}|\bruch{17}{9}|\bruch{26}{9})
[/mm]
[mm] r_{s}=\wurzel{\bruch{65}{9}}
[/mm]
Ich bin mir ziemlich sicher, dass das richtig ist. Doch wie kann ich den Aufgabenteil B lösen?
Wenn ich den beliebigen Punkt allgemein als Punkt P bezeichne, würde ich so anfangen:
[mm] \vec{x_{P}}=\vec{x_{M_{s}}}+r_{s}*.....weiter [/mm] komme ich nicht. Ich weiß auch nicht ob dieser Ansatz richtig ist.
Ich bin jedem sehr dankbar der mir irgendwie weiterhilft. Auch wenn es nur ein Ansatz ist.
Also: Vielen Dank im Vorraus.
Eddy-Gordo
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:57 Do 06.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Gegeben ist die Kugel K: [mm][\vec{x}-\vektor{2 \\ 1\\2}]²=9[/mm]
> sowie die Ebene E: -x+2y+2z=8.
>
> A) Berechnen Sie den Schnittkreis zwischen Kugel und Ebene
> B) Zeigen Sie wie jeder beliebige, sich außen auf dem
> Schnittkreis befindliche Punkt errechnet werden kann.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo.
> Ich habe mit der Aufgabe begonnen und folgenden
> Schnittkreis errechnet:
>
> [mm]M_{s} (\bruch{14}{9}|\bruch{17}{9}|\bruch{26}{9})[/mm]
>
> [mm]r_{s}=\wurzel{\bruch{65}{9}}[/mm]
>
> Ich bin mir ziemlich sicher, dass das richtig ist. Doch wie
> kann ich den Aufgabenteil B lösen?
>
> Wenn ich den beliebigen Punkt allgemein als Punkt P
> bezeichne, würde ich so anfangen:
>
> [mm]\vec{x_{P}}=\vec{x_{M_{s}}}+r_{s}*.....weiter[/mm] komme ich
Hallo,
dein [mm] "+r_{s}*....." [/mm] müsste eine Linearkombination aus zwei Vektoren mit Radiuslänge sein, die beide senkrecht zum Normalenvektor der Kreisebene stehen. Allerdings dürfen die beiden Parameter nicht beliebige Werte annehmen. Der eine Parameter wäre cos(t) und der andere sin(t).
Viele Grüße
Abakus
> nicht. Ich weiß auch nicht ob dieser Ansatz richtig ist.
>
> Ich bin jedem sehr dankbar der mir irgendwie weiterhilft.
> Auch wenn es nur ein Ansatz ist.
>
> Also: Vielen Dank im Vorraus.
>
> Eddy-Gordo
|
|
|
| |
|
Danke. Ich hab jetzt die Kreisgleichung K: [mm] \vec{X}=\vektor{\bruch{14}{9} \\ \bruch{17}{9} \\ \bruch{26}{9}}+\bruch{\wurzel{\bruch{65}{9}}}{\wurzel{5}}*\vektor{2 \\ 1 \\ 0}*cos(\alpha)+bruch{\wurzel{\bruch{65}{9}}}{\wurzel{55}}*\vektor{-2 \\ 4 \\ -5}*sin(\alpha)
[/mm]
wobei gilt: [mm] \vec{X}=Beliebiger [/mm] Punkt auf dem Kreis.
Aber wie bekomme ich [mm] \alpha [/mm] raus?
Danke im vorraus.
Eddy-Gordo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:50 Fr 07.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Danke. Ich hab jetzt die Kreisgleichung K:
> [mm]\vec{X}=\vektor{\bruch{14}{9} \\ \bruch{17}{9} \\ \bruch{26}{9}}+\bruch{\wurzel{\bruch{65}{9}}}{\wurzel{5}}*\vektor{2 \\ 1 \\ 0}*cos(\alpha)+bruch{\wurzel{\bruch{65}{9}}}{\wurzel{55}}*\vektor{-2 \\ 4 \\ -5}*sin(\alpha)[/mm]
>
> wobei gilt: [mm]\vec{X}=Beliebiger[/mm] Punkt auf dem Kreis.
>
> Aber wie bekomme ich [mm]\alpha[/mm] raus?
Hallo,
ich verstehe den Sinn deiner Frge nicht ganz. In deiner ursprünglichen Aufgabenstellung war kein konkreten Punkt des Kreises anzugeben, sondern eine allgemeine Darstellung für ALLE Punkte des Kreises zu finden. Das ist mit der angegebenen Formel möglich (Hauptsache, dass [mm] \alpha [/mm] mindestens von Null bis [mm] 2\pi [/mm] läuft).
Viele Grüße
Abakus
>
> Danke im vorraus.
>
> Eddy-Gordo
|
|
|
| |
|
Naja. ich soll jeden Punkt auf dem Kreis bestimmen können. Ich hätte jetzt noch gerne einen Punkt, als Beispiel bestimmt.
wäre sehr nett wenn du mir erklärst, wie ich z.B. den höchsten Punkt auf dem Kreis bestimmen kann.
Vielen Dank für die Mühe.
Edd-Gordo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 Fr 07.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Naja. ich soll jeden Punkt auf dem Kreis bestimmen können.
> Ich hätte jetzt noch gerne einen Punkt, als Beispiel
> bestimmt.
>
> wäre sehr nett wenn du mir erklärst, wie ich z.B. den
> höchsten Punkt auf dem Kreis bestimmen kann.
Na, da müsstest du die allgemeine Formel mit dem [mm] \alpha [/mm] nehmen (ich habe nicht nachgerechnet, ob sie stimmt) und daraus die entsprechende Gleichung für die z-Koordinate rausziehen.
Dann wird es eine Extremwertaufgabe (Gleichung nach [mm] \alpha [/mm] ableiten und Ableitung Null setzten). Die gibt zwei Lösungen (für den höchsten und den tieften Punkt).
Ohne Differenzialrechnung könntest du den Kreis auch mit einer Ebene schneiden, die parallel zur x-y-Ebene verläuft und durch den Kreismittelpunkt geht.
Diese Ebene hat zwei Schnittpunkte mit dem Kreis, die in der gleichen Höhe wie der Mittelpunkt liegen. Das entsprechnede [mm] \alpha [/mm] für den höchsten und tiefsten Punkt liegt um 90° versetzt.
Viele Grüße
Abakus
>
> Vielen Dank für die Mühe.
>
> Edd-Gordo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:17 Fr 07.03.2008 | | Autor: | Eddy-Gordo |
ahhh. gut vielen dank.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Fr 07.03.2008 | | Autor: | weduwe |
wenn du mit höchstem/tiefsten punkt den mit größtem/kleinstem z-wert meinst,
kannst du diese punkte und [mm] \alpha [/mm] direkt ablesen.
da die z-komponente des 1.vektors [mm] v_{1z}=0 [/mm] bekommst du die gesuchten extremwerte für [mm] sin\alpha=\pm [/mm] 1
|
|
|
|
