Quadratur nach Gauß-Legendre < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo liebe Leute,
ich hätte da eine Frage zu diesem numerischen Verfahren. Vielleicht kann mir jemand von Euch helfen.
Als Beispiel nehme ich mal n = 4.
[mm] $\integral_{-1}^{1}{f(x) dx} \; \approx \;\summe_{i=1}^{4}a_i*f(x_i)$
[/mm]
Wo die [mm] x_i [/mm] herkommen weiß ich - es sind die Nullstellen des vierten Legendre-Polynoms:
[mm] $P_4(x)\; =\; \frac{1}{8}* \left(35*x^4-30*x^2+3 \right)\;=\; [/mm] 0$ also
[mm] $x_1 \;=\; [/mm] - [mm] \sqrt{\frac{3}{7}+ \frac{2}{7}*\sqrt{\frac{6}{5}}}$ [/mm] und [mm] $x_2 \;=\;- \sqrt{\frac{3}{7}- \frac{2}{7}*\sqrt{\frac{6}{5}}}$ [/mm] und [mm] $x_3 \;=\; +\sqrt{\frac{3}{7}-\frac{2}{7}*\sqrt{\frac{6}{5}}}$ [/mm] und [mm] $x_4 \;=\;+\sqrt{\frac{3}{7}+ \frac{2}{7}*\sqrt{\frac{6}{5}}}$
[/mm]
Die Gewichte bzw. Koeffizienten [mm] a_i [/mm] sind:
[mm] $a_1\;=\;\frac{18-\sqrt{30}}{36}$ [/mm] und [mm] $a_2\;=\;\frac{18+\sqrt{30}}{36}$ [/mm] und [mm] $a_3\;=\;\frac{18+\sqrt{30}}{36}$ [/mm] und [mm] $a_4\;=\;\frac{18-\sqrt{30}}{36}$
[/mm]
Nun wüsste ich gerne, wie man auf diese Koeffizienten [mm] a_i [/mm] kommt- so es denn eine verständliche Erklärung für Mathematik-Laien gibt.
Vielen Dank für Eure Mühe!
Liebe Grüße, Martinius
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:55 Di 20.05.2025 | | Autor: | Infinit |
Hallo Martinius,
da hast Du eine interessante Frage gestellt. Ich bin zwar Ingenieur, habe mich aber auch immer für die Mathematik interessiert und auch für die Numerik. So habe ich mich mal anhand meines alten NuMa-Skripts von 1983, dem alten Törnig "Numerische Mathematik für Ingenieure und Physiker" und einer Menge Suche hier im Internet an Deiner Fragestellung etwas entlang gehangelt. Bitte erwarte hier keine mathematische Herleitung, aber die grobe Idee kann ich Dir wohl nun schildern.
Für die Legrende-Poynome weiß man, dass man deren Nullstellen, je nach gewünschtem Grad der Approximation, bestimmen kann und diese zur Integration einsetzt. Wenn man diese hat, sind sie fix und es bleibt einem nur noch übrig, die Gewichtungskoeffizienten zu bestimmen. Diese sind immer positiv und bei dieser Fragestellung kommt dann ein verwandtes Gebiet der Numerik mit rein, nämlich die Frage, wie man eine Funktion durch einen Satz vorgegebener Basisfunktionen möglichst gut approximieren kann. Bei einer Polynomapproximation, und um diese handelt es sich ja bei den Legrende-Polynomen, weiß man, dass eine exakte Approximation durch Lagrange-Polynome möglich ist. Dies lässt sich berechnen und aus dieser Rechnung heraus, bitte frage mich nicht nach mathematischen Details, ergeben sich dann die einzelnen Gewichtungskoeffzienten. Es entsteht dabei ein Ausdruck, in dem auch noch die Ableitung des höchsten Legrende-Polynoms auftritt. Für die Summe aller Gewichtungskoeffzienten kommt im Integrationsintervall ein Wert von 2 heraus, da konstante Funktionen, setzte einfach x =1 ein, exakt integrierbar sind und demzufolge in der Gaußformel nur die Summe über die Gewichte auftritt. Schaue Dir Deine vier Gewichtungskoeffzienten mal an, und Du wirst feststellen, dass dies stimmt.
Das ist alles, was ich Dir zu diesem Thema sagen kann, aber ich hoffe, es gibt einen kleinen Einblick, warum die Gewichtungskoeffizienten gerade so aussehen und nicht anders.
Herzliche Grüße,
Infinit
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:23 Di 20.05.2025 | | Autor: | Martinius |
Hallo Infinit,
ich möchte mich bei Dir für Deine Antwort sehr herzlich bedanken!
Liebe Grüße, Martinius
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Hiho,
bei der Quadratur nach Gauß-Legendre ergeben sich die Koeffizienten als
[mm] $a_i=\int _{-1}^{1}\prod _{j=1,j\neq i}^{n}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}\mathrm [/mm] {d} [mm] x,\quad i=1,\ldots [/mm] ,n$.
Das wäre auch meine finale Antwort. Man kann auch zeigen, dass da die von dir gegebenen [mm] $a_i$ [/mm] rauskommen.
Bspw. für [mm] $a_1$ [/mm] ergibt sich:
[mm] $a_1 [/mm] = [mm] \int _{-1}^{1}\frac{x-x_2}{x_1 - x_2}\cdot\frac{x-x_3}{x_1 - x_3}\cdot\frac{x-x_4}{x_1 - x_4} \mathrm [/mm] {d} x$
Setzt man jetzt die [mm] $x_i$ [/mm] ein und "vereinfacht" (welch Sisyphusarbeit), erhält man:
[mm] $a_1 [/mm] = [mm] \int _{-1}^{1}-\frac{(\sqrt{525 - 70 \sqrt{30}} - 35 x) (\sqrt{525 + 70 \sqrt{30}} - 35 x) (\sqrt{525 - 70 \sqrt{30}} + 35 x)}{1400 \sqrt{630 + 84 \sqrt{30}}} \mathrm [/mm] {d} x$
Rechnet man das Integral nun aus (was bis auf die Schreibarbeit nicht schwer ist), erhält man:
$ [mm] a_1=\frac{18-\sqrt{30}}{36} [/mm] $
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:40 Mi 21.05.2025 | | Autor: | Martinius |
Hallo Gonozal_IX,
habe vielen Dank für Deine Antwort!
Sobald ich etwas Muße habe, werde ich versuchen sie nachzuvollziehen.
Liebe Grüße, Martinius
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