Reihe: absolut konvergent < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt:
hallo zusammen,
ich weiß überhaupt nicht wie ich die Aufgabe lösen soll =(
Zeige: Ist die Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{k} [/mm] absolut konvergent, so ist für alle r [mm] \in \IN+ [/mm] auch die Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a^{r}_{k} [/mm] absolut konvergent
Ich hoffe ihr könnt mir helfen!
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:59 Mo 23.11.2009 | | Autor: | dominik88 |
Was hast du denn bisher versucht? Welche Konvergenzkriterien kennst du denn?
Gruß Dom
|
|
|
| |
|
Ich weiß gar nicht wie ich anfangen muss.
Also ich kenn diese Kriterien: Majorantenkriterium, Minorantnkriterium, Leibniz, Wurzel und Quotientenkriterium.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:40 Mo 23.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nimm mal das Quotientenkriterium!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:13 Di 24.11.2009 | | Autor: | wee |
also beim Q-Krit. betrachtet man ja im wesendlichen den gleichen Bruch, nur das Vorzeichen ist anders, was aber durch die Betragsstriche erledigt wird.
Man hat also:
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}=(\bruch{n+1}{n+2})^{n+1}*(\bruch{n+1}{n})^n*\bruch{\wurzel[n+1]{n+1}-1}{\wurzel[n]{n}-1}
[/mm]
Kann man bei den beiden ersten Faktoren so argumentieren, dass der este gegen 1/e und der zweite gegen e konvergiert, sich also für große n zu 1 aufhebt nach den GWS?
Dann bleibt nur noch zu zeigen, dass eben [mm] \wurzel[n+1]{n+1}<\wurzel[n]{n} [/mm] ist, also mein altes Problem.
|
|
|
| |
|
Hallo wee,
ich verstehe nicht so recht, was diese Frage hier macht.
Der Zusammenhang ist doch etwas vage.
Gehört sie nicht vielmehr hierhin?
lg
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:51 Di 24.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> hallo zusammen,
>
> ich weiß überhaupt nicht wie ich die Aufgabe lösen soll
> =(
>
> Zeige: Ist die Reihe [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_{k}[/mm] absolut
> konvergent, so ist für alle r [mm]\in \IN+[/mm] auch die Reihe
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a^{r}_{k}[/mm] absolut konvergent
>
> Ich hoffe ihr könnt mir helfen!
[mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_{k}[/mm] ist absolut konvergent, Somit ist [mm] (a_k) [/mm] eine Nullfolge, es gibt also ein m [mm] \in \IN [/mm] mit
[mm] $|a_k| \le [/mm] 1$ für k [mm] \ge [/mm] m
Dann ist
[mm] $|a_k^r| [/mm] = [mm] |a_k|^r \le |a_k|$ [/mm] für k [mm] \ge [/mm] m
Jetzt Majorantenkriterium.
FRED
P.S.: Das Quotientenkriterium bringt hier gar nichts !
>
>
|
|
|
| |
|
hallo,
du hast also gezeigt, dass die Folge [mm] (a^r_{k}) [/mm] konvergiert, da sie kleiner ist als die konvergente Folge [mm] (a_{k}).
[/mm]
Jetzt muss ich mit dem Majorantenkriterium zeigen, dass die Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a^r_{k} [/mm] absolut konvergiert.
Hab ich das richtig verstanden ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:47 Di 24.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> hallo,
>
> du hast also gezeigt, dass die Folge [mm](a^r_{k})[/mm] konvergiert,
> da sie kleiner ist als die konvergente Folge [mm](a_{k}).[/mm]
Nein !
vorausgesetzt ist, dass $ [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{k} [/mm] $ absolut konvergiert, insbesondere hat man dann: [mm] a_k \to [/mm] 0 (k [mm] \to \infty)
[/mm]
Dann konvergiert trivialerweise auch die Folge [mm](a^r_{k})[/mm] gegen Null.
Das war aber nicht die Frage. Zeigen sollst Du, dass die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a^r_{k} [/mm] absolut konvergiert.
Und genau das habe ich Dir vorgemacht.
FRED
>
> Jetzt muss ich mit dem Majorantenkriterium zeigen, dass die
> Reihe [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a^r_{k}[/mm] absolut konvergiert.
>
> Hab ich das richtig verstanden ?
>
|
|
|
| |
|
achso,
dann bin ich fertig mit dem Beweis??
ich dachte ich müsste jetzt noch mit Majorantenkriterium noch weiterarbeiten, weil du ja geschrieben hattest:
Dann ist
$ [mm] |a_k^r| [/mm] = [mm] |a_k|^r \le |a_k| [/mm] $ für k $ [mm] \ge [/mm] $ m
Jetzt Majorantenkriterium.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:55 Di 24.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Ja, was sagt den das Majorantenkriterium zu
$ [mm] |a_k^r| [/mm] = [mm] |a_k|^r \le |a_k| [/mm] $ für k $ [mm] \ge [/mm] $ m
???
FRED
|
|
|
| |
|
wenn es eine konvergente Reihe gibt [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{k} [/mm] bei der gilt [mm] |a_k| \ge |a_k^r| [/mm] so konvergiert auch [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a^{r}_{k} [/mm] ???
das sagt doch das Majorantenkriterium , oder versteh ich da was völlig falsch?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:13 Di 24.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> wenn es eine konvergente Reihe gibt [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_{k}[/mm]
> bei der gilt [mm]|a_k| \ge |a_k^r|[/mm] so konvergiert auch
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a^{r}_{k}[/mm] ???
>
> das sagt doch das Majorantenkriterium , oder versteh ich da
> was völlig falsch?
Alles richtig. $ [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a^{r}_{k} [/mm] $ konvergiert sogar absolut
FRED
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:38 Di 24.11.2009 | | Autor: | Matheproof |
VIELEN DANK EUCH ALLEN für die Hilfe =)
|
|
|
|
