Satz des Cavalieri < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:28 Sa 11.04.2026 | | Autor: | Louise |
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Erkläre bitte den Satz des Cavalieri anhand dieser Beschreibung genauer (besonders den letzten Punkt):
Der Satz des Cavalieri besagt, dass zwei Körper das gleiche Volumen haben, wenn für sie gilt:
1. Die Flächeninhalte der Grundfläche sind gleich
2. Die Höhen sind gleich
3. die Schnittflächen im gleichen Abstand und parallel zur Grundfläche haben den gleichen Flächeninhalt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:09 So 12.04.2026 | | Autor: | Infinit |
Hallo Louise,
für die Antwort solltest Du schon Deine eigenen Worte nutzen, aber mache Dir vorher die Grundidee dieses Satzes klar. Man stößt in der Volumenberechnung immer wieder auf Körper, deren Volumen nicht ganz so einfach zu berechnen ist. Mit Hilfe der Intergralrechnung geht zwar einiges, aber ich nehme mal an, dass Du diese noch nicht hattest.
Der Satz des Cavalieri gibt Dir aber ein "Kochrezept", auf welche Weise man trotzdem das Volumen solch, ich nenne sie mal so, schiefer Körper bestimmen kann. Man zerteilt diese Körper in Scheiben einer bestimmten Höhe und berechnet aus der Fläche in dieser Höhe die Fläche in dieser Höhe, multipliziert diese Fläche mit der Höhe und addiert das Volumen der einzelnen Scheiben auf.
Das ist immer noch nicht ganz einfach, aber man kann demzufolge versuchen, den Körper, dessen Volumen Du wissen willst, in einen anderen Körper zu "verschieben", dessen Volumen einfacher zu berechnen ist. Ein einfaches Beispiel dafür ist ein schiefer Quader, dessen Teilflächen Du so zurechtrücken kannst, dass ein normaler Quader daraus entsteht. Von dem lässt sich das Volumen mit Hilfe von [mm] a \cdot b \cdot c [/mm] recht einfach bestimmen. Bei etwas ungewöhnlichen Körpern, wie sie auch in Deinen folgenden Aufgaben auftreten, braucht man etwas dreidimensionale Vorstellungskraft und etwas Phantasie. Lässt sich solch ein Körper in verschiedenen Lagen so wiederholen, das daraus ein Körper wird, dessen Volumen Du enfach bestimmen kannst? Wenn dies klappt und Du ingesamt dafür [mm] n [/mm] Körper bentzen musst, beträgt das Volumen des gesuchten Körpers gerade [mm]\frac{1}{n} [/mm]-tel des mit dieser Hilfe berechneten Volumens. Das ist der Grundgedanke hinter dem Satz von Cavalieri.
Viele Grüße,
Infinit
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