Schnittpunkt beweisen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:12 Do 25.10.2007 | | Autor: | Swifty |
| Aufgabe | 1) Beweise: Die Tangente an den Graphen der e-Funktion im Punkt P [mm] (x|e^x) [/mm] schneidet die erste Achse an der Stelle x - 1.
2) Welche: Welche geometrische Konstruktion für die Tangente ergibt sich hieraus? |
Guten Abend!
Ich häng mal wieder bei einer Aufgabe fest :-(
Ich hab erstmal damit angefangen, die Tangente zu berechnen:
y=mx+b
[mm] f(x)=e^x [/mm] = y
f'(x) = [mm] e^x [/mm] = m
[mm] e^x [/mm] = [mm] e^x [/mm] * x + b
b = [mm] e^x -e^x [/mm] * x
Tangente ist also:
y = [mm] e^x [/mm] * x + [mm] e^x [/mm] - [mm] e^x [/mm] * x
und wenn man das zusammenfasst:
y = [mm] e^x
[/mm]
So und das ist jetzt irgendwie komisch..
Wie soll ich das denn jetzt genau beweisen?
Ist die Rechnung/Vorhergehensweise bis jetzt denn richtig?
Danke schonmal an alle, die mir helfen können/wollen 
mfg
Swifty
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 Do 25.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Die Vorgehensweise ist richtig, aber du solltest die Koordinaten des Berührpunktes lieber a und [mm] e^a [/mm] oder so nennen.
Die Koordinaten des Punktes sind ja konstant, aber du würfelst sie mit dem x der Tangenteigleichung durcheinander! Deshalb lieber 2 Variablen.
Also mach das nochmal mit [mm] P(a|e^a).
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:28 Do 25.10.2007 | | Autor: | Swifty |
Hallo,
Danke schonmal für den Tipp, aber irgendwie versteh ich den Sinn noch nicht ganz richtig. Also weil es halt dann fast gleich ist, nur das x = a genannt wird .. ?
[mm] f(a)=e^a [/mm] = y
f'(a) = [mm] e^a [/mm] = m
[mm] e^a [/mm] = [mm] e^a [/mm] * x + b
b = [mm] e^a -e^a [/mm] * x
Tangente ist also:
y = [mm] e^a [/mm] * x + [mm] e^a [/mm] - [mm] e^a [/mm] * x
und wenn man das zusammenfasst:
y = [mm] e^a
[/mm]
Den Beweis an sich hab ich ja nun immer noch nicht erbracht.. und mir fällt auch keine Möglichkeit ein, dies zu Beweisen.
mfg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Do 25.10.2007 | | Autor: | Swifty |
Entschuldigung, das da oben sollte eigentlich eine "Frage" sein.
Bin neu hier, passiert 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:33 Do 25.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Macht ja nix :) hab geantwortet.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:32 Do 25.10.2007 | | Autor: | Teufel |
[mm] f(x)=e^x
[/mm]
Tangente im Punkt [mm] P(a|e^a) [/mm] gesucht.
[mm] m=e^a
[/mm]
t: y=mx+n
t: y=e^ax+n
Nun wird der Punkt eingesetzt:
t: [mm] e^a=e^a*a+n
[/mm]
Du hast wieder x statt a genommen!
[mm] n=e^a-e^a*a
[/mm]
u.s.w.
Wie gesagt musst du das machen, weil die Koordinaten des Punktes ja Konstanten sind, aber das x in der Geradengleichung ist eine Variable!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Do 25.10.2007 | | Autor: | Swifty |
Die Tangentengleichung müsste dann ja
y = [mm] e^a*x+e^a-e^a*a
[/mm]
sein?
Und dann müsste man ja, weil man die Nullstelle berechnen will, y=0 setzen und nach x auflösen..
Da bekomm ich raus, x = -1 + a
Ist es damit bewiesen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:45 Do 25.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Kannst die Nullstelle natürlich noch zu [mm] x_s=a-1 [/mm] machen, damit es wie oben aussieht :) aber ja, damit ist es bewiesen. Fehlt nur noch 2.)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Do 25.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Naja, wenn du eine Tangente an der Stelle a willst, musst du vom Punkt P(a-1|0) aus eine Tangente an die Funktion zeichnen (da das ja immer ihre Nullstelle ist). Mehr wollen die glaube nicht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:24 Do 25.10.2007 | | Autor: | Swifty |
Achso!
Stimmt eigentlich... nur wäre ich da nie von selber drauf gekommen glaub ich.
Danke nochmal für deine (ausführliche) Hilfe!
schönen Abend noch
mfg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:30 Do 25.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Wünsch' ich dir auch ;) kein Problem!
|
|
|
|
