Supremum, Infimum < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:31 Di 01.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | (i) Analysieren Sie die folgende Menge, ob Sie nach oben und/oder unten beschränkt ist und prüfen Sie die Existenz eines Infimums, Supremums, Minimums und Maximums. Geben Sie für jede Ihrer Behauptungen einen Beweis.
M:= [mm] \{\bruch{1}{n+1}, \bruch{n+5}{2} | n\in\IN \}
[/mm]
(ii) Zeigen Sie, dass M abzählbar ist. |
Guten Morgen,
ich frage mich gerade wie diese Schreibweise gemeint ist. Ist hier ein Tupel gemeint? Aufgrund des Kommas? Nun zu meiner Idee:
Ich würde das Ganze als Folge notieren, also [mm] a_{n} [/mm] = [mm] (\bruch{1}{n+1}, \bruch{n+5}{2}). [/mm] Nun dann wäre [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = [mm] (0,\infty). [/mm] Was mich wie schon erwähnt total verwirrt... Der erste Term strebt ja gegen 0, der andere gegen unendlich. Heißt das nun das es kein Supremum gibt ? Vielleicht liegt meine Problematik auch wirklich an der Schreibweise. Ist geht meine Idee denn in die richtige Richtung? Hoffe ihr könnt mir weiter helfen.
LG Loriot95
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:53 Di 01.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> (i) Analysieren Sie die folgende Menge, ob Sie nach oben
> und/oder unten beschränkt ist und prüfen Sie die Existenz
> eines Infimums, Supremums, Minimums und Maximums. Geben Sie
> für jede Ihrer Behauptungen einen Beweis.
>
> M= [mm]\{\bruch{1}{n+1}, \bruch{n+5}{2} | n\in\IN \}[/mm]
>
> (ii) Zeigen Sie, dass M abzählbar ist.
> Guten Morgen,
>
> ich frage mich gerade wie diese Schreibweise gemeint ist.
> Ist hier ein Tupel gemeint? Aufgrund des Kommas?
Nein. (*) $M= [mm] \{\bruch{1}{n+1}n\in\IN \} \cup \{\bruch{n+5}{2} | n\in\IN \} [/mm] $
Hilft das ?
FRED
> Nun zu
> meiner Idee:
> Ich würde das Ganze als Folge notieren, also [mm]a_{n}[/mm] =
> [mm](\bruch{1}{n+1}, \bruch{n+5}{2}).[/mm] Nun dann wäre
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}[/mm] = [mm](0,\infty).[/mm] Was mich
> wie schon erwähnt total verwirrt... Der erste Term strebt
> ja gegen 0, der andere gegen unendlich. Heißt das nun das
> es kein Supremum gibt ? Vielleicht liegt meine Problematik
> auch wirklich an der Schreibweise. Ist geht meine Idee denn
> in die richtige Richtung? Hoffe ihr könnt mir weiter
> helfen.
>
> LG Loriot95
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:21 Di 01.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Ja, tut es. Vielen Dank. Also dann gibt es schon mal ein Infimum bei 0 da
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n+1} [/mm] = 0 und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n+5}{2} [/mm] = [mm] \infty. [/mm] D.h es gibt kein Supremum. Also ist die Menge nach oben unbeschränkt, also gibt es kein Supremum und auch kein Maximum. Die Menge ist nach unten beschränkt durch 0, aber ein Minimum gibt es nicht. Desweiteren ist [mm] \bruch{n+5}{2} [/mm] monoton steigend und [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] monoton fallend. Reicht das schon als Beweis?
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Hi,
> Ja, tut es. Vielen Dank. Also dann gibt es schon mal ein
> Infimum bei 0 da
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n+1}[/mm] = 0 und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n+5}{2}[/mm] = [mm]\infty.[/mm] D.h es
> gibt kein Supremum. Also ist die Menge nach oben
> unbeschränkt, also gibt es kein Supremum und auch kein
> Maximum.
Das hängt davon ab, ob man [mm] \infty [/mm] als Supremum zulässt. Ein Maximum gibt es jedenfalls nicht. Maximum und Minimum müssen immer aus der Menge sein.
> Die Menge ist nach unten beschränkt durch 0, aber
> ein Minimum gibt es nicht.
Der einzige Kandidat für das Minimum wäre das Infimum 0, welches jedoch nicht zur Menge gehört, also gibt es kein Minimum.
> Desweiteren ist [mm]\bruch{n+5}{2}[/mm]
> monoton steigend und [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm] monoton fallend.
Richtig, das gehört zur Begründung, dass Infimum und Supremum der Grenzwert für [mm] n\to\infty [/mm] der jeweiligen Folgen in der Menge sind. Ist aber auch klar.
> Reicht das schon als Beweis?
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:41 Di 01.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Gut vielen Dank. Nun zu (ii). Man soll zeigen das M abzählbar ist d.h ich muss zeigen das es eine bijektive Abbildung gibt entweder zwischen einer Teilmenge der natürlichen Zahlen oder mit den natürlichen Zahlen. Da die Menge unendlich groß ist, muss ich eine bijektive Abbildung zwischen M und [mm] \IN [/mm] finden. Am besten wäre es wenn ich eine geschlossen Formel finden würde auf die ich Abbildung kann, d.h eine Folge. Ist das richtig so oder bin ich auf dem falschen Dampfer?
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> Gut vielen Dank. Nun zu (ii). Man soll zeigen das M
> abzählbar ist d.h ich muss zeigen das es eine bijektive
> Abbildung gibt entweder zwischen einer Teilmenge der
> natürlichen Zahlen oder mit den natürlichen Zahlen.
Dir ist sicherlich bekannt, dass die ganzen Zahlen abzählbar sind. Ich finde es einfacher, eine bijektive Abbildung zwischen [mm] \IZ\backslash\{0\} [/mm] und M zu konstruieren.
Z.B:
[mm] f:\IZ\backslash\{0\}\to [/mm] M, [mm] f(z)=\begin{cases} \frac{1}{z+1}, & z>0 \\ \frac{|z|+5}{2}, & z<0 \end{cases}
[/mm]
[mm] f^{-1} [/mm] ist dann entsprechend so, dass eine bijektive Korrespondenz entsteht.
Es gibt selbstverständlich sehr viele andere Möglichkeiten.
> Da die Menge unendlich groß ist, muss ich eine bijektive
> Abbildung zwischen M und [mm]\IN[/mm] finden. Am besten wäre es
> wenn ich eine geschlossen Formel finden würde auf die ich
> Abbildung kann, d.h eine Folge. Ist das richtig so oder
> bin ich auf dem falschen Dampfer?
Die Folge müsstest du so definieren, dass sie beide Folgen in der Menge mitnimmt.
Gruß
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:55 Di 01.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:58 Di 01.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Schon gut, hat sich erledigt. :) Danke schön.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 Di 01.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Es war
$ M= [mm] \{\bruch{1}{n+1}|n\in\IN \} \cup \{\bruch{n+5}{2} | n\in\IN \} [/mm] $
Die erste Menge rechts sei [mm] M_1 [/mm] und die zweite sei [mm] M_2.
[/mm]
Definiere die Abbildungen [mm] $f:\IN \to M_1$ [/mm] und [mm] $g:\IN \to M_2$ [/mm] durch
$f(n):= [mm] \bruch{1}{n+1}$ [/mm] und $g(n):= [mm] \bruch{n+5}{2} [/mm] $.
Dann sind f und g bijektiv, also sind [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2 [/mm] abzählbar.
Was weißt Du über Vereinigung von abzählbaren Mengen ?
FRED
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