Taylor-R. stellt Funktion dar? < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Man bestimmte die Taylor-Reihe um [mm] x_{0} [/mm] = 0 der Funktion $f(x) = [mm] \frac{1}{1+x}$ [/mm] für [mm] x\not=-1. [/mm] Wie groß ist der Konvergenzbereich, und stellt sie die Funktion dar? |
Hallo!
Ich scheitere an der "Darstellung" der Funktion.
Also, es ist
$f(x) = [mm] (1+x)^{-1} \Rightarrow f^{(k)} [/mm] = [mm] (-1)^{k}*k!*(1+x)^{-(k+1)}$.
[/mm]
Damit:
$f(x) = [mm] \left(\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}*x^{k}\right) [/mm] + [mm] R_{n+1}(x) [/mm] = [mm] \left(\sum_{k=0}^{n}(-x)^{k}\right) [/mm] + [mm] R_{n+1}(x)$
[/mm]
mit
[mm] $|R_{n+1}(x)| [/mm] = [mm] \left|\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}*x^{n}\right| [/mm] = [mm] \left|\frac{(-1)^{n+1}*(n+1)!}{(n+1)!*(1+\xi)^{n+1}}*x^{n+1}\right| [/mm] = [mm] \left|\frac{x}{1+\xi}\right|^{n+1}$.
[/mm]
[mm] (\xi\in(-1,1)).
[/mm]
Ich kann nun ja schonmal ablesen, dass die Taylor-Reihe im Grunde der geometrischen Reihe für (-x) entspricht, also ist der Konvergenzbereich (-1,1).
Damit die Taylor-Reihe wirklich die Funktion f darstellt, muss aber
[mm] $|R_{n+1}(x)| \to [/mm] 0 $ [mm] (n\to\infty) [/mm] gleichmäßig
gelten.
Nun ist
[mm] $|R_{n+1}(x)| [/mm] = [mm] \left|\frac{x}{1+\xi}\right|^{n+1}$.
[/mm]
Für positive [mm] \xi [/mm] sehe ich ein, dass das gegen 0 geht. Aber wieso gilt das auch für negative [mm] \xi [/mm] ? Habe ich etwas falsch gemacht?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:12 Mo 25.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Warum so umständlich ?
$ f(x) = [mm] \frac{1}{1+x} [/mm] = [mm] \frac{1}{1-(-x)}= \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n*x^n$
[/mm]
FRED
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Hallo Fred,
erstmal danke für deine Antwort 
Ja, ich erinnere mich, dass du mich schonmal auf diesen Trick hingewiesen hast.
> [mm]f(x) = \frac{1}{1+x} = \frac{1}{1-(-x)}= \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n*x^n[/mm]
Ist damit nicht bereits alles gezeigt? Also dass die Taylor-Reihe der Funktion $f(x) = [mm] \frac{1}{1+x}$ [/mm] nur für [mm] x\in(-1,1) [/mm] konvergiert und dort dann auch die Funktion darstellt?
Trotzdem würde ich gerne noch das mit dem "Darstellen" zeigen. Reicht es dafür, zu untersuchen, ob
[mm] $|f(x)-t_{n}(x)|\to [/mm] 0$ gleichmäßig für [mm] x\in(-1,1)
[/mm]
gilt? [mm] (t_{n}(x) [/mm] Taylor-Polynom n-ter Ordnung von f).
Dann wäre:
[mm] $|f(x)-t_{n}(x)| [/mm] = [mm] \left|\frac{1}{1+x}-\summe_{k=0}^{n}(-x)^{k}\right| [/mm] = [mm] \left|\frac{1}{1+x}-\frac{1-(-x)^{n}}{1-(-x)}\right| [/mm] = [mm] \left|\frac{1-(1-x^{n})}{1+x}\right| [/mm] = [mm] \left|\frac{x^{n}}{1+x}\right|$
[/mm]
Mh. Das bedeutet aber, dass die Konvergenz gar nicht gleichmäßig, sondern nur punktweise ist. Reicht das aus?
Danke für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:56 Mi 27.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
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> erstmal danke für deine Antwort
> Ja, ich erinnere mich, dass du mich schonmal auf diesen
> Trick hingewiesen hast.
>
> > [mm]f(x) = \frac{1}{1+x} = \frac{1}{1-(-x)}= \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n*x^n[/mm]
>
> Ist damit nicht bereits alles gezeigt? Also dass die
> Taylor-Reihe der Funktion [mm]f(x) = \frac{1}{1+x}[/mm] nur für
> [mm]x\in(-1,1)[/mm] konvergiert und dort dann auch die Funktion
> darstellt?
Ja, damit ist alles gezeigt.
>
> Trotzdem würde ich gerne noch das mit dem "Darstellen"
> zeigen.
Wozu ? Du kennst doch die geometrische Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}q^n. [/mm] Diese konvergiert für |q|<1 absolut und es gilt: [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}q^n [/mm] = 1/(1-q)$
Bei Dir ist q = -x
> Reicht es dafür, zu untersuchen, ob
>
> [mm]|f(x)-t_{n}(x)|\to 0[/mm] gleichmäßig für [mm]x\in(-1,1)[/mm]
>
> gilt? [mm](t_{n}(x)[/mm] Taylor-Polynom n-ter Ordnung von f).
> Dann wäre:
>
> [mm]|f(x)-t_{n}(x)| = \left|\frac{1}{1+x}-\summe_{k=0}^{n}(-x)^{k}\right| = \left|\frac{1}{1+x}-\frac{1-(-x)^{n}}{1-(-x)}\right| = \left|\frac{1-(1-x^{n})}{1+x}\right| = \left|\frac{x^{n}}{1+x}\right|[/mm]
>
> Mh. Das bedeutet aber, dass die Konvergenz gar nicht
> gleichmäßig, sondern nur punktweise ist. Reicht das aus?
Natürlich !
Du weißt doch sicherlich noch (s. Funktionentheorie): eine Pozenzreihe konvergiert auf ihrem Konvergenzbereich im allgemeinen nicht gleichmäßig, aber sie konvergiert auf jeder kompakten Teilmenge des Konvergenzbereichs gleichmäßig (lokal glm. Konvergenz)
Gruß FRED
>
> Danke für Eure Hilfe!
>
> Grüße,
> Stefan
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Danke Fred,
für deine Antwort!
Habe es verstanden
Grüße,
Stefan
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