Teilbarkeit durch 7 < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:43 Fr 26.12.2008 | | Autor: | gigi |
| Aufgabe | | Zeige: Für alle [mm] n\in \IN [/mm] gilt: 7 teilt [mm] 10^n-3^n [/mm] |
hallo,
da ich nicht wusste, wie ich den term umformen könnte, damit man die teilbarkeit sieht, dacht ich mir, geht es mit der induktion wohl am besten.
der IA für n=1 stimmt ja wegen [mm] 10^1-3^1=7
[/mm]
die IV lautet: 7 [mm] |10^n-3^n
[/mm]
die IB dann: 7 [mm] |10^{n+1}-3^{n+1}
[/mm]
im IS schreibe ich dann: [mm] 10^{n+1}-3^{n+1}=10^n*10-3^n*3=.....
[/mm]
wie mache ich dann weiter? oder ist induktion hier eine ganz blöde idee??
danke und viele grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:49 Fr 26.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Zeige: Für alle [mm]n\in \IN[/mm] gilt: 7 teilt [mm]10^n-3^n[/mm]
> hallo,
>
> da ich nicht wusste, wie ich den term umformen könnte,
> damit man die teilbarkeit sieht, dacht ich mir, geht es mit
> der induktion wohl am besten.
>
> der IA für n=1 stimmt ja wegen [mm]10^1-3^1=7[/mm]
> die IV lautet: 7 [mm]|10^n-3^n[/mm]
> die IB dann: 7 [mm]|10^{n+1}-3^{n+1}[/mm]
> im IS schreibe ich dann:
> [mm]10^{n+1}-3^{n+1}=10^n*10-3^n*3=.....[/mm]
>
> wie mache ich dann weiter? oder ist induktion hier eine
> ganz blöde idee??
Nein, Induktion ist hier eine sehr gute Idee.
Bedenke mal, dass $10 = 3 + 7$ ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Fr 26.12.2008 | | Autor: | gigi |
mh, ich setzte nun an beiden (?) stellen für 10 die 7+3 ein...aber was mach ich dann? bei [mm] (7+3)^n [/mm] fällt mir nur der binomische satz ein, aber das bringt mich doch auch nicht weiter...irgendwie muss ich doch meine IV einsetzen können!
grüße
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Hallo gigi,
dann gehe doch von der IV aus:
IV: [mm] $7\mid\left(10^n-3^n\right)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow 7\mid\left(10\cdot{}\left(10^n-3^n\right)\right)$ [/mm] denn [mm] $a\mid b\Rightarrow a\mid (m\cdot{}b)$
[/mm]
Also [mm] $7\mid\left(10^{n+1}-(3+7)\cdot{}3^n\right)$...
[/mm]
Löse das mal weiter auf, dann siehst du's schon ...
Bedenke, dass gilt [mm] $(a\mid m\wedge a\mid n)\Rightarrow a\mid (x\cdot{}m+y\cdot{}n)$ [/mm] für [mm] $x,y\in\IZ$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:48 Fr 26.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> mh, ich setzte nun an beiden (?) stellen für 10 die 7+3
> ein...aber was mach ich dann? bei [mm](7+3)^n[/mm] fällt mir nur der
> binomische satz ein, aber das bringt mich doch auch nicht
> weiter...irgendwie muss ich doch meine IV einsetzen
> können!
Du musst es nur an einer Stelle einsetzen. Wenn du die richtige waehlst, wird es ganz einfach.
Beachte noch folgendes: sind zwei Zahlen $x$ und $y$ beide durch 7 teilbar, so ist auch deren Summe $x + y$ durch 7 teilbar.
LG Felix
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hallo gigi,
was du dir "für ein ander mal" merken kannst:
[mm] (a^n-b^n) [/mm] ist stets durch (a-b) teilbar, weil
[mm] (a-b)*(a^{n-1}+a^{n-2}*b+a^{n-3}*b^2+a^{n-4}*b^3+ [/mm] ..... [mm] +a*b^{n-2}+b^{n-1})=a^n-b^n
[/mm]
(zur Verifikation: einfach mal ausmultiplizieren !)
Ebenso ist [mm] (a^n+b^n) [/mm] ist stets durch (a+b) teilbar.
LG
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