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Hallo,
ich habe nach einem Verfahren gesucht, anhand dessen der Abstand eines Punktes von einem Untervektorraum bestimmt werden kann. In einem meiner Bücher wurde ich fündig. Das beschriebene Verfahren wurde ausführlich hergeleitet. Nun habe ich genau dieses Verfahren auf zwei (Klausur)-Aufgaben angewandt. Leider war mein Ergebnis nie richtig und in der Musterlösung wurde das wieder komplett anders gerechnet.
Hier nun mein Verfahren:
Es sei V ein euklidischer Vektorraum über [mm] \IK. [/mm] Weiter sei U ein Untervektorraum von V mit dim(U) := n. U := [mm] [b_1, [/mm] ..., [mm] b_n], [/mm] wobei [*] die lineare Hülle bezeichnet. Gesucht ist nun der Abstand von v [mm] \in [/mm] V zu U - also d(v, U).
1. Schritt: Bilde die Matrix A := [mm] ((b_1, [/mm] ..., [mm] b_n)). [/mm] Die Spalten der Matrix A bestehen folglich aus den Vektoren, die U aufspannen.
2. Schritt: Löse das lineare Gleichungssystem [mm] A^{T} [/mm] A [mm] \lambda [/mm] = [mm] A^{T} [/mm] v.
Hinweis: [mm] \lambda [/mm] := [mm] (\lambda_1, [/mm] ..., [mm] \lambda_n) [/mm] ist jetzt eine Lösung des Gleichungssystems.
3. Schritt: Orthogonalprojektion bestimmen: p := [mm] \lambda_1 b_1 [/mm] + ... + [mm] \lambda_n b_n \Rightarrow p^{+} [/mm] := v - p [mm] \Rightarrow \parallel p^{+} \parallel [/mm] = d(v, U).
Fertig.
Stimmt das Verfahren so?
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> Stimmt das Verfahren so?
Hallo,
das Verfahren sieht mir richtig aus.
Vielleicht rechnest Du mal vor, wie Du es umgesetzt hast.
Gruß v. Angela
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