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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:02 Mo 15.11.2010 | | Autor: | dani_123 |
| Aufgabe | | [mm] \bruch{1}{1+n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{1+(n+1)}+...+\bruch{1}{1+(2n-1}+\bruch{1}{1+2n} [/mm] > [mm] \bruch{13}{24} [/mm] |
Hallo!
Habe dieses Beispiel im Net gefunden, mit Lösung! Doch bei der Lösung versteh ich etwas nicht!
Lösung:
[mm] \bruch{1}{1+n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{1+(n+1)}+...+\bruch{1}{1+(2n-1}+\bruch{1}{1+2n} [/mm] = [mm] \summe{k=n+1}^{2n+1} \bruch{1}{k} [/mm] > [mm] \bruch [/mm] {13}{24} (für alle n [mm] \ge [/mm] 2)
Behauptung:
[mm] \summe{k=n+1}^{2n+1} \bruch{1}{k} [/mm] > [mm] \bruch{13}{24} [/mm] (für alle n [mm] \ge [/mm] 2)
Anfang:
n=2 : [mm] \bruch{1}{2+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2.2} [/mm] = [mm] \bruch{7}{12} [/mm] > [mm] \bruch{13}{24}
[/mm]
Schluss:
[mm] \summe{k=n+2}^{2n+1} \bruch{1}{k} [/mm] = [mm] \summe{k=n+2}^{2n+2} \bruch{1}{k}= \summe{k=n+1}^{2n} \bruch{1}{k} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2n+1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{1+n} [/mm] > [mm] \bruch{13}{24} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2n+1}+\bruch{1}{2(n+1)}- \bruch{1}{n+1}= \bruch [/mm] {13}{24} + [mm] \bruch{2(n+1)+(2n+1)-2(en+1)}{2(n+1)(2n+1)}=\bruch{13}{24} [/mm] + [mm] \bruch{2n+2+2n+1-4n-2}{2(n+1)(2n+1)} [/mm] = [mm] \bruch{13}{24} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2(n+1)(2n+1)}> \bruch{13}{24}
[/mm]
Also der Anfang ist mir klar! Doch der Induktionsschritt leuchtet mir nicht ein!
Vielleicht steh ich auch nur auf der Leitung doch ich würde mich freuen wenn mir jemand hilft!
PS: Warum wird der gemeinsame Nenner 2(n+1) (2n+1)
Vielen Dank
Dani
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:18 Di 16.11.2010 | | Autor: | Fulla |
Hallo Dani,
> [mm]\bruch{1}{1+n}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{1+(n+1)}+...+\bruch{1}{1+(2n-1}+\bruch{1}{1+2n}[/mm] >
> [mm]\bruch{13}{24}[/mm]
> Hallo!
>
> Habe dieses Beispiel im Net gefunden, mit Lösung! Doch bei
> der Lösung versteh ich etwas nicht!
Ich auch nicht! Ich hab lange gebraucht, bis ich aus dieser Lösung die passene Aufgabenstellung rekonstruiert hab. Die Aufgabe muss lauten:
Zeige [mm]\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}>\frac{13}{24}[/mm].
> Lösung:
> [mm]\bruch{1}{1+n}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{1+(n+1)}+...+\bruch{1}{1+(2n-1}+\bruch{1}{1+2n}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=n+1}^{2n+1} \bruch{1}{k}[/mm] > [mm]\bruch[/mm] [mm]\frac{13}{24}[/mm] (für
> alle n [mm]\ge[/mm] 2)
>
> Behauptung:
> [mm]\summe_{k=n+1}^{2n+1} \bruch{1}{k}[/mm] > [mm]\bruch{13}{24}[/mm] (für
> alle n [mm]\ge[/mm] 2)
>
> Anfang:
> n=2 : [mm]\bruch{1}{2+1}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2\red{+}2}[/mm] = [mm]\bruch{7}{12}[/mm] >
> [mm]\bruch{13}{24}[/mm]
> Schluss:
> [mm]\summe_{k=n+2}^{2n+1} \bruch{1}{k}[/mm] = [mm]\summe_{k=n+2}^{2n+2} \bruch{1}{k}= \summe_{k=n+1}^{2n} \bruch{1}{k}[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{2n+1}[/mm] - [mm]\bruch{1}{1+n}[/mm] > [mm]\bruch{13}{24}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{2n+1}+\bruch{1}{2(n+1)}- \bruch{1}{n+1}= \bruch[/mm]
> [mm]\frac{13}{24} +[/mm]
> [mm]\bruch{2(n+1)+(2n+1)-2(en+1)}{2(n+1)(2n+1)}=\bruch{13}{24}[/mm]
> + [mm]\bruch{2n+2+2n+1-4n-2}{2(n+1)(2n+1)}[/mm] = [mm]\bruch{13}{24}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{2(n+1)(2n+1)}> \bruch{13}{24}[/mm]
>
>
> Also der Anfang ist mir klar! Doch der Induktionsschritt
> leuchtet mir nicht ein!
> Vielleicht steh ich auch nur auf der Leitung doch ich
> würde mich freuen wenn mir jemand hilft!
> PS: Warum wird der gemeinsame Nenner 2(n+1) (2n+1)
Entweder hast du dich vertippt oder der Autor der "Musterlösung".
Zunächsteinmal fehlt die Induktionsvoraussetzung:
Sei die Behauptung bereits für ein [mm]n\ge 2[/mm] bewiesen.
Jetzt der Induktionsschritt (oder -schluss): Zeige, dass die Behauptung dann auch für n+1 gilt.
[mm]\sum_{k=n+2}^{2n+2}\frac{1}{k}=\sum_{n+2}^{2n+1}\frac{1}{k}+\frac{1}{2n+2}=\sum_{n+2}^{2n}\frac{1}{k}+\frac{1}{2n+2}+\frac{1}{2n+1}=\sum_{n+1}^{2n}\frac{1}{k}+\frac{1}{2n+2}+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{n+1}[/mm]
Damit man die Induktionsvoraussetzung verwenden kann, muss die Summe auf die entsprechende Form gebracht werden. Dazu spaltet man ddie letzten beiden Summanden ab und schreibt sie dahinter ([mm]+\frac{1}{2n+2}+\frac{1}{2n+1}[/mm]). Außerdem soll die Summe ja bei n+1 anfangen. Da jetzt aber ein Summand zuviel vorkommt, muss er wieder abgezogen werden ([mm]-\frac{1}{n+1}[/mm])
Jetzt kannst du die Induktionsvoraussetzung verwenden:
[mm]\ldots >\frac{13}{24}+\underbrace{\frac{1}{2n+2}}_{=2(n+1)}+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{n+1}=\frac{13}{24}+\frac{2n+1+2(n+1)-2(2n+1)}{2(n+1)(2n+1)}=\frac{13}{24}+\frac{1}{2(n+1)(2n+1)}>\frac{13}{24}[/mm]
Das letzte > gilt, weil der Bruch [mm] $\frac{1}{2(n+1)(2n+1)}$ [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] 2$ positiv ist und wenn zu [mm] $\frac{13}{24}$ [/mm] etwas positives addiert wird, ist die Summe auf jeden Fall größer als [mm] $\frac{13}{24}$.
[/mm]
Ich hoffe, es ist jetzt ein bisschen klarer geworden.
Lieben Gruß,
Fulla
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