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| Aufgabe | | (X,d) kompakter metrischer [mm] Raum\Rightarrow [/mm] X ist vollständig. |
Hallo,
ich habe mir folgendes überlegt:
Sei [mm] (x_{n})_{n\in\mathbb{N}} [/mm] beliebige Cauchy-Folge. Dann besitzt (wegen Folgenkompaktheit) [mm] x_{n} [/mm] eine konvergente Teilfolge [mm] (x_{n_{k}})_{k\in\mathbb{N}} [/mm] mit [mm] \underset{k\rightarrow\infty}{\mbox{lim}}x_{n_{k}}=x\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0\exists N\in\mathbb{N}:d(x_{n_{k}},x)<\varepsilon\,\,\,\forall k\geq N\,\,\,\,\,\,\,(1).
[/mm]
Jetzt ist [mm] x_{n} [/mm] Cauchy-Folge, d.h. [mm] \forall\varepsilon>0\exists N\in\mathbb{N}:d(x_{n},x_{n_{k}})<\varepsilon\,\,\,\forall n,n_{k}\geq N\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2).Dann [/mm] gilt folgendes: [mm] d(x_{n},x)\leq d(x_{n},x_{n_{k}})+d(x_{n_{k}},x)<\varepsilon+\varepsilon=2\varepsilon\,\,\,\,\forall n,n_{k}\geq [/mm] N. Also konvergiert [mm] x_{n}.
[/mm]
Meine Frage ist erstens: Stimmt der Beweis so?
Und dann zweitens: Ich habe zwei Epsilon-Teile, nämlich (1) und (2). Ich habe da den Index, ab dem der Abstand [mm] <\varepsilon [/mm] ist beides mal mit N bezeichnet. Sollte man da lieber zwei unterschiedliche N wählen, etwa [mm] N_{0} [/mm] und [mm] N_{1} [/mm] und dann sagen, dass [mm] N_{1}\geq N_{0} [/mm] sein soll, oder ist das egal.Die gleiche Frage habe ich zu den einzelnen [mm] \varepsilon. [/mm] Sollte ich vllt. lieber für die Konvergenz das Epsilon mit [mm] \varepsilon_{1} [/mm] bezeichnen und das Cauchy-Epsilon mit [mm] \varepsilon_{2}? [/mm] Oder ist auch das so ok? Wenn ich alles was ich hier meine mal umsetze, komme ich zu folgender letzten Zeile:
[mm] d(x_{n},x)\leq d(x_{n},x_{n_{k}})+d(x_{n_{k}},x)<\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}=:\varepsilon\,\,\,\,\forall n,n_{k}\geq N_{1}. [/mm] Welche Version ist besser/richtiger?
Gruß Sleeper
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Hiho,
erstmal vorweg. Der Beweis ist von der Beweisführung ok, man kann ihn an einigen Stellen nur sauberer aufschreiben 
Ich geh mal auf einige deiner Überlegungen ein:
> Und dann zweitens: Ich habe zwei Epsilon-Teile, nämlich (1)
> und (2). Ich habe da den Index, ab dem der Abstand
> [mm]<\varepsilon[/mm] ist beides mal mit N bezeichnet. Sollte man da
> lieber zwei unterschiedliche N wählen, etwa [mm]N_{0}[/mm] und [mm]N_{1}[/mm]
> und dann sagen, dass [mm]N_{1}\geq N_{0}[/mm] sein soll, oder ist
> das egal
Ich würde sagen [mm] N_1 [/mm] und [mm] N_0 [/mm] und dann im dritten schritt sagen [mm]\forall n,k \ge max(N_1,N_0)[/mm]. Dann hast du die Einschränkung [mm] N_1 \ge N_0 [/mm] nicht, die ja nicht immer gelten muss.
Deine Teile für (1) und (2) stimmen soweit schon, nur deinen Teil ab "Dann gilt folgendes: " würde ich an deiner Stelle weiter ausführen.
Wie gesagt, als Beweisführung versteht dich jeder, vorallem wenn du dazu was Erklären kannst (in einer mdl. Prüfung bspw.).
Aber aufgeschrieben als abzugebende Aufgabe würde ich das noch weiter ausführen. Da hilft dir insbesondere einfach das hinschreiben der Quantoren nochmal, dann musst du auch nicht mit verschiedenen Quantoren rumwurschteln, denn es gilt ja:
[mm]\forall\varepsilon'=2\varepsilon>0: d(x_{n},x) \leq d(x_{n},x_{n_{k}})+d(x_{n_{k}},x)< \varepsilon+\varepsilon=\varepsilon'\text{ }\forall n,n_{k}\geq max(N_1,N_2)[/mm]
Es gibt viele Möglichkeiten das aufzuschreiben.
Wichtig ist nur, dass klar wird, wie es zu laufen hat und das keine mathematischen Fehler drin sind.
MfG,
Gono.
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