WM Sportplatz max. Grösse < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:30 Mi 14.06.2006 | | Autor: | zeusiii |
| Aufgabe | Eine 400 m Laufbahn in einem Stadion besteht aus 2 parallelen Strecken und 2 angesetzten Halbkreisen .
Für welchen radius r der Halbkreise wird dir rechteckige Spielfläche maximal? |
Was soll extrem werden ?
Die rechteckige Spielfläche .
Zielfunktion müsste sein :
A(r) = 2*r*b
Meine ersten Gedanken sind oder waren :
Welche Werte habe ich :
Umfang = 400 m
- Rechteck .Länge ist "b" breite ist "a" -
also ergibt sich die Formel für den Umfang :
2*b + [mm] \pi [/mm] * r = 400
die zweite Sache ist um die Zielfunktion ableiten zu können
darf ich nur eine Variable in der Funktion haben ,ich muss
also das b mit der Nebenbedingung ausrechnen .
Den grössten Fehler macht man sicherlich mit der falschen Nebenbedingung oder Zielfunktion.
Ich hoffe das ist sie :
2*b + [mm] \pi [/mm] * r = 400
nach b aufgelöst
b = 400 - [mm] \pi [/mm] *r
beim einsetzten und ausrechnen in die Zielfunktion habe ich was seltsames raus
A (r) = 2 * r ( 400 - [mm] \pi*r)
[/mm]
A (r) = 800r - [mm] 2\pi [/mm] r²
A (r) = [mm] -2*\pi [/mm] *r² + 800
Bin ich auf dem richtigen Weg oder absolut falsch ?
freue mich auf Lösungsvorschläge
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:36 Mi 14.06.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo Markus,
der Weg ist schon nicht schlecht, aber wo ist die 2 von dem b geblieben?
>
> [mm] \red{2}*b [/mm] + [mm]\pi[/mm] * r = 400
>
> nach b aufgelöst
>
> b = 400 - [mm]\pi[/mm] *r
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Mi 14.06.2006 | | Autor: | zeusiii |
achso
b = [mm] \bruch{400- \pi *r}{2}
[/mm]
kleiner Schreibfehler
und wie gehts nun weiter ?
kommt man mit meinem Weg ans Ziel ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:05 Mi 14.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein Weg ist genau richtig, Nur hast du beim Umfang nur einen Halbkreis addiert, nicht 2!
[mm] U=2b-2*r*\pi
[/mm]
sonst ist dein Vorgehen ok. (Zu viele klein Leichtsinnsfehler, schade, wo du doch zielgerichtet denkst!)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Mi 14.06.2006 | | Autor: | zeusiii |
habe ich wohl übersehen. Bin auch schon seit einiger Zeit am tüfteln 
so ,habe das jetzt in die Zielfunktion eingesetzt :
bzw. erst mal nach b umgestellt .
2 b- 2*r * [mm] \pi [/mm] = 400
400 +2 * r * [mm] \pi [/mm]
b = _______________
2
b = [mm] \bruch{2 * (200 + r*\pi ) }{2} [/mm]
b = 200 + [mm] r*\pi
[/mm]
b in die Zielfunktion :
2 * r * ( 200 + r * [mm] \pi [/mm] )
A (r ) = 2 [mm] \pi [/mm] r² + 400 * r
A ' (r) = 4 [mm] \pi [/mm] r + 400
A '' (r) = 4 [mm] \pi [/mm]
so in etwa?
wie gehts weiter ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:39 Mi 14.06.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo,
ich möchte dich ja nicht enttäuschen, aber da ist wieder ein kleiner Vorzeichfehler drin.
> weitergerechnet
> habe ich wohl übersehen. Bin auch schon seit einiger Zeit
> am tüfteln
>
> so ,habe das jetzt in die Zielfunktion eingesetzt :
>
> bzw. erst mal nach b umgestellt .
>
>
> 2 b- 2*r * [mm]\pi[/mm] = 400
>
[mm] 2*b\red{+}2*r*\pi=400
[/mm]
das zieht sich dann bis unten durch, aber wieder ist der Weg der Richtige.
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Mi 14.06.2006 | | Autor: | zeusiii |
Das Vorzeichen hatte ich einfach von der Antwort übernommen ,also kein Flüchtigskeitsfehler (jippie)
so nochmal nach b umstellen
2 * b + 2* r * [mm] \pi [/mm] = 400
b = 200 - [mm] r*\pi
[/mm]
A (r) = 2 * r ( 200 - r * [mm] \pi [/mm] )
A (r) = -2 [mm] r²*\pi [/mm] + 400 * r
A ' (r) = [mm] -4*r*\pi [/mm] +400
r auflösen :
[mm] \bruch{100}{ \pi } [/mm] = r [mm] \approx [/mm] r = 31,83
eigendlich müsste ich ja jetzt prüfen ob es ein Maximum oder ein Minimum ist
A '' (r) = - [mm] 4\pi [/mm]
da es nicht einsetzbar ist geh ich davon aus das dies der gesuchte Wert ist oder ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:51 Mi 14.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Alles richtig jetzt, und da die 2. Ableitung <0 auch ein Maximum. das sieht man auch ohne 2. Ableitung weil es ja ne Parabelfkt ist, wegen [mm] -r^{2} [/mm] nach unten geöffnet. Am ende solltest du noch A maximal ausrechnen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Do 15.06.2006 | | Autor: | zeusiii |
habe ich jetzt mit dem maximalen r auch die max grösse des Feldes ?
oder wie ist das gemeint ?
freu mich über ne Antwort
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:55 Do 15.06.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> wie oben
> habe ich jetzt mit dem maximalen r auch die max grösse des
> Feldes ?
>
wenn du noch A ausrechnest dann ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Liebe Grüße
Herby [Dateianhang nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 Do 15.06.2006 | | Autor: | zeusiii |
| Aufgabe | wie mache ich das?
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das r in die Nebenbedigung einsetzen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:14 Do 15.06.2006 | | Autor: | Herby |
Hi,
>
> das r in die Nebenbedigung einsetzen ?
einigen wir uns doch einfach auf die "Zielfunktion", denn die Fläche sollte doch max. werden (hast du selbst im ersten Post geschrieben )
$ A(r)=b*2*r $
[mm] A=100*2*\bruch{100}{\pi}
[/mm]
Liebe Grüße
Herby [Dateianhang nicht öffentlich]
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![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]"){kind=small}
![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]"){kind=small}
![[nurse]](/images/smileys/nurse.gif "[nurse]"){kind=small}
