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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:06 So 27.12.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
(i) Es gibt eine Primzahl p mit 123456789 Ziffern in der Dezimalschreinweise, deren erste Ziffer eine 1 ist.
(ii) Sei n eine beliebige natürliche Zahl. Dann gilt [mm] n^4 [/mm] hat im Zehnersystem als Einerziffer eine der Zahlen 0, 1, 5, 6. |
Hallo,
eigentlich sehen mir die Aufgaben recht leicht aus, zumindest sollen sie das seine. Ich bin trotzdem noch nicht so richtig auf eine Lösung gekommen.
Zu (i). Ich weiß eigentlich nur, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, das sagt ja aber noch lange nicht das geforderte aus. Kann ich da vielleicht irgendwie mit der Legendre-Formel draufkommen?
Zu (ii): Muss man hier irgendeine zahlentheoretische Funktion anwenden oder kommt man da viel leichter drauf?
Gruß Unk
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> Zeigen Sie:
> (i) Es gibt eine Primzahl p mit 123456789 Ziffern in der
> Dezimalschreibweise, deren erste Ziffer eine 1 ist.
> (ii) Sei n eine beliebige natürliche Zahl. Dann gilt [mm]n^4[/mm]
> hat im Zehnersystem als Einerziffer eine der Zahlen 0, 1, 5, 6.
> Hallo,
>
> eigentlich sehen mir die Aufgaben recht leicht aus,
> zumindest sollen sie das sein. Ich bin trotzdem noch nicht
> so richtig auf eine Lösung gekommen.
> Zu (i). Ich weiß eigentlich nur, dass es unendlich viele
> Primzahlen gibt, das sagt ja aber noch lange nicht das
> geforderte aus. Kann ich da vielleicht irgendwie mit der
> Legendre-Formel draufkommen?
Was genau meinst du hier mit "Legendre-Formel" ?
Ich vermute, sowas wie ich ![[]](/images/popup.gif) da gefunden habe.
Falls ich richtig verstanden habe, ist dies allerdings
"nur" eine "asymptotische" Formel für [mm] x\to\infty [/mm] . Ein Blick
in die dort etwas weiter unten angegebene Tabelle
über die Primzahlhäufigkeiten lässt allerdings vermuten,
dass es im angegebenen Intervall sehr viele Prim-
zahlen geben müsste. Allerdings kann ein Verweis
auf eine Vermutung aufgrund einer Tabelle im Inter-
net wohl nicht als "Beweis" gelten ... 
> Zu (ii): Muss man hier irgendeine zahlentheoretische
> Funktion anwenden oder kommt man da viel leichter drauf?
Das ist leicht. Schreibe n als $\ n=z*10+e$ mit [mm] z\in\IN_0 [/mm] und [mm] e\in\{0,1,2, ... ,9\}
[/mm]
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 04:10 So 27.12.2009 | | Autor: | Unk |
> > Zeigen Sie:
> > (i) Es gibt eine Primzahl p mit 123456789 Ziffern in
> der
> > Dezimalschreibweise, deren erste Ziffer eine 1 ist.
> > (ii) Sei n eine beliebige natürliche Zahl. Dann gilt
> [mm]n^4[/mm]
> > hat im Zehnersystem als Einerziffer eine der Zahlen 0, 1,
> 5, 6.
>
> > Hallo,
> >
> > eigentlich sehen mir die Aufgaben recht leicht aus,
> > zumindest sollen sie das sein. Ich bin trotzdem noch nicht
> > so richtig auf eine Lösung gekommen.
> > Zu (i). Ich weiß eigentlich nur, dass es unendlich viele
> > Primzahlen gibt, das sagt ja aber noch lange nicht das
> > geforderte aus. Kann ich da vielleicht irgendwie mit der
> > Legendre-Formel draufkommen?
>
> Was genau meinst du hier mit "Legendre-Formel" ?
> Ich vermute, sowas wie ich
> da
> gefunden habe.
Ne das meinte ich nicht.
Das Lemma von Legendre besagt bei und folgendes:
[mm] \omega_{p}(n!)=\lfloor\frac{n}{p}\rfloor+\lfloor\frac{n}{p^{2}}\rfloor+...
[/mm]
Zur Notation noch einiges: p ist eine Primzahl. [mm] n_p [/mm] sei die größte p-Potenz, die n teilt, z.B. [mm] 12_2=2^2=4. [/mm] Ist [mm] n_p=p^s, [/mm] so schreibe [mm] \omega_p(n)=s.
[/mm]
Aber irgendwie erscheint mir auch das zu speziell. Kann man irgendwie anders vorgehen?
>
> > Zu (ii): Muss man hier irgendeine zahlentheoretische
> > Funktion anwenden oder kommt man da viel leichter drauf?
>
> Das ist leicht. Schreibe n als [mm]\ n=z*10+e[/mm] mit [mm]z\in\IN_0[/mm] und
> [mm]e\in\{0,1,2, ... ,9\}[/mm]
>
>
> LG Al-Chw.
>
Ok, so habe ich das auch und dann einfach für 0 bis 9 nachgerechnet, dass es passt. Kann man das vielleicht noch etwas theoretischer (schöner, noch kürzer) machen, ohne das Nachrechnen, auch wenn es nicht kompliziert ist?
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Hallo Unk,
> > > Zu (ii): Muss man hier irgendeine zahlentheoretische
> > > Funktion anwenden oder kommt man da viel leichter drauf?
> >
> > Das ist leicht. Schreibe n als [mm]\ n=z*10+e[/mm] mit [mm]z\in\IN_0[/mm] und
> > [mm]e\in\{0,1,2, ... ,9\}[/mm]
> >
> >
> > LG Al-Chw.
> >
> Ok, so habe ich das auch und dann einfach für 0 bis 9
> nachgerechnet, dass es passt. Kann man das vielleicht noch
> etwas theoretischer (schöner, noch kürzer) machen, ohne
> das Nachrechnen, auch wenn es nicht kompliziert ist?
>
Wenn Du den Satz von Euler und Fermat kennst, dann kannst Du auf einen Schlag die Fälle mit [mm]\operatorname{ggT}(e,10)=1[/mm] erledigen (da [mm]\varphi(10)=4[/mm]).
Weiter ist [mm] $40=6^2+2^2$ [/mm] und [mm] $80=4^2+8^2$, [/mm] jetzt sieht man mit der 3. Binomischen Formel ...
Viel kürzer geht's dann nicht mehr, glaub ich.
Gruß
zahlenspieler
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> > > (ii) Sei n eine beliebige natürliche Zahl. Dann gilt
> > [mm]n^4[/mm]
> > > hat im Zehnersystem als Einerziffer eine der Zahlen 0, 1, 5, 6.
> > > Zu (ii): Muss man hier irgendeine zahlentheoretische
> > > Funktion anwenden oder kommt man da viel leichter drauf?
> >
> > Das ist leicht. Schreibe n als [mm]\ n=z*10+e[/mm] mit [mm]z\in\IN_0[/mm] und
> > [mm]e\in\{0,1,2, ... ,9\}[/mm]
> Ok, so habe ich das auch und dann einfach für 0 bis 9
> nachgerechnet, dass es passt. Kann man das vielleicht noch
> etwas theoretischer (schöner, noch kürzer) machen, ohne
> das Nachrechnen, auch wenn es nicht kompliziert ist?
Du könntest wohl Überlegungen modulo 2 und
modulo 5 kombinieren. Das wäre dann wunschgemäß
etwas "theoretischer". Auch da gibts aber noch
etwas zu rechnen, und kürzer wird es wohl kaum,
im Gegenteil !
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:47 Mo 28.12.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Unk, hallo Al,
Das sieht doch gar nicht so lang aus:
> Du könntest wohl Überlegungen modulo 2 und
> modulo 5 kombinieren. Das wäre dann wunschgemäß
> etwas "theoretischer". Auch da gibts aber noch
> etwas zu rechnen, und kürzer wird es wohl kaum,
> im Gegenteil !
Da ja immer gilt [mm] a^2\equiv (-a)^2 \mod{b}, [/mm] sind die quadratischen Reste modulo 5 schnell ermittelt: [mm] \{0;1;4\}
[/mm]
Die biquadratischen Reste modulo 5 sind also [mm] \{0;1\}.
[/mm]
Modulo 2 sind die möglichen Reste aller Potenzen [mm] \{0;1\}.
[/mm]
Nach chinesischem Restsatz sind dann die biquadratischen Reste modulo 10: [mm] \{0;1;5;6\}
[/mm]
Mehr muss man wohl nicht schreiben, denke ich. Eher noch weniger.
lg
reverend
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> > > Zeigen Sie:
> > > (i) Es gibt eine Primzahl p mit 123456789 Ziffern in der
> > > Dezimalschreibweise, deren erste Ziffer eine 1 ist.
> > > Zu (i). Ich weiß eigentlich nur, dass es unendlich viele
> > > Primzahlen gibt, das sagt ja aber noch lange nicht das
> > > geforderte aus. Kann ich da vielleicht irgendwie mit der
> > > Legendre-Formel draufkommen?
Hallo Unk,
das obige Resultat folgt aus dem Satz, dass zwischen
einer natürlichen Zahl n [mm] (n\ge [/mm] 2) und ihrem Doppelten [mm] 2\,n
[/mm]
stets mindestens eine Primzahl p liegt:
$\ [mm] \forall{n}\ (n\in\IN)\ [/mm] \ [mm] \exists{p}\ [/mm] (p\ prim\ und\ [mm] n
Der Satz läuft unter dem Begriff "Bertrandsches Postulat". Dazu
findet man im Netz genügend Material, z.B.:
Bertrand's Postulate
oder hier: (Vortrag Thomas Singer)
Der Beweis ist allerdings nicht trivial, und es werden darin
wirklich Terme wie im "Lemma von Legendre" benützt.
LG Al-Chw.
(***) Die zweite Ungleichung in [mm] n
Ungleichung formuliert, damit alles auch für n=1 passt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 So 27.12.2009 | | Autor: | Unk |
> > > > Zeigen Sie:
> > > > (i) Es gibt eine Primzahl p mit 123456789 Ziffern
> in der
> > > > Dezimalschreibweise, deren erste Ziffer eine 1 ist.
>
> > > > Zu (i). Ich weiß eigentlich nur, dass es unendlich viele
> > > > Primzahlen gibt, das sagt ja aber noch lange nicht das
> > > > geforderte aus. Kann ich da vielleicht irgendwie mit der
> > > > Legendre-Formel draufkommen?
>
>
> Hallo Unk,
>
> das obige Resultat folgt aus dem Satz, dass zwischen
> einer natürlichen Zahl n [mm](n\ge[/mm] 2) und ihrem Doppelten
> [mm]2\,n[/mm]
> stets mindestens eine Primzahl p liegt:
>
> [mm]\ \forall{n}\ (n\in\IN)\ \ \exists{p}\ (p\ prim\ und\ n
> (***)
>
> Der Satz läuft unter dem Begriff "Bertrandsches Postulat".
> Dazu
> findet man im Netz genügend Material, z.B.:
>
> Bertrand's Postulate
>
> oder hier:
> (Vortrag Thomas Singer)
>
> Der Beweis ist allerdings nicht trivial, und es werden
> darin
> wirklich Terme wie im "Lemma von Legendre" benützt.
>
> LG Al-Chw.
>
>
> (***) Die zweite Ungleichung in [mm]n
> Ungleichung formuliert, damit alles auch für n=1 passt.
>
Dankeschön schonmal. Ja das Bertrandsche Postulat und die angegebene Gleichung kenne ich sogar, ich bin auch schon beim Bearbeiten der Aufgabe darüber gestolpert, aber ich hab noch ein Problem mit den Zahlen. Ich weiß durch die Ungleichung, dass es zwischer jeder Zahl und ihrem Doppelten eine Primzahl gibt, also wird es auch zu jeder Zahl mit 123456789 Ziffern und ihrem Doppelten eine Primzahl geben, aber wie bringe ich ein, dass deren erste Ziffer eine 1 ist?
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> Dankeschön schonmal. Ja das Bertrandsche Postulat und die
> angegebene Gleichung kenne ich sogar, ich bin auch schon
> beim Bearbeiten der Aufgabe darüber gestolpert, aber ich
> hab noch ein Problem mit den Zahlen. Ich weiß durch die
> Ungleichung, dass es zwischer jeder Zahl und ihrem
> Doppelten eine Primzahl gibt, also wird es auch zu jeder
> Zahl mit 123456789 Ziffern und ihrem Doppelten eine
> Primzahl geben, aber wie bringe ich ein, dass deren erste
> Ziffer eine 1 ist?
Na, in diesem Fall, wenn du das (bewiesene) Bertrandsche
Postulat schon kennst und auch anwenden darfst, ist es
aber wirklich eine einfache Aufgabe. Die kleinste 123456789-
stellige Dezimalzahl ist
$\ n\ =\ [mm] 1\underbrace{00000\,.....\,00000}_{123456788\ Nullen}$
[/mm]
die größte solche Zahl
$\ [mm] 1\underbrace{99999\,.....\,99999}_{123456788\ Neunen}\ [/mm] =\ 2*n-1$
Alles klar ?
LG Al-Chw.
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