arithmetische Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:06 So 07.10.2007 | | Autor: | Mr_Tom |
| Aufgabe | Gegeben seien die ersten Glieder einer arithmetischen Folge:
5; 10; 15; 20; 25.
Bestimmen Sie die Anzahl der Folgeglieder, die als Summe 1050 ergibt. |
geg.: [mm] a_{1}; [/mm] d=5 ges.: n
Ich habe schon eine Lösung vorhanden, jedoch ist mir das System der Umstellung überhaupt nicht klar. Vielleicht kann mir jemand was dazu erklären.
[mm] S_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n}{2} [/mm] ( 2 * 5 ( n - 1 ) * 5 = 1050
nun die Umstellung, die ich nicht verstehe:
5n + ( [mm] n^{2} [/mm] - n ) * [mm] \bruch{5}{2} [/mm] = 1050
n + [mm] \bruch{n^{2} - n}{2} [/mm] = 210
usw. bei mir hängts aber schon bei der ersten Umstellung.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:17 So 07.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Formel für [mm] S_n [/mm] ist falsch oder unlesbar verfasst, es fehlen Klammern.
du hast doch : [mm] S_n=5+10+15+...+5*n=5*(1+2+...+n)=5*n*(n+1)/2= 5/2*n^2+5/2*n
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 So 07.10.2007 | | Autor: | Mr_Tom |
$ [mm] S_{n} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{n}{2} [/mm] $ ( 2 * 5 + ( n - 1 ) * 5 = 1050
Danke erstmal. Sorry ich hatte das "+" vergessen. Diese Formel ist bei mir als Lösungsweg angegeben. Die komplette aufgabe hänge ich mal als PDF an. Ich bräuchte eine Erläuterung zur Systematik des Auflösens der Formel. Das ist mir noch nicht klar.
![[]](/images/popup.gif) Klick
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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Mr. Tom,
im ersten Schritt ist nur a_1 und d eingesetzt
Das ergibt dann:
$\frac{n}{2}\cdot{}\left(2\cdot{}5+(n-1)\cdot{}5)=1050$
Dann wird einfach ausmultipliziert
$\Rightarrow \frac{n}{2}\cdot{}2\cdot{}5+\frac{n}{2}(n-1)\cdot{}5=1050$
kürzen
$\Rightarrow 5n+\frac{5}{2}n(n-1)=1050$
ausmultiplizieren
$\Rightarrow 5n+\frac{5}{2}(n^2-n)=1050$
Rest ist klar bis zum Wegfallen des Minus...
Das fällt weg, weil eine negative Lösung für n keinen Sinn hat (negativ viele Folgenglieder ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") ), nur die positive Lösung interessiert hier
Ok soweit?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 So 07.10.2007 | | Autor: | Mr_Tom |
ok vielen Dank für die Hilfe.
Gibt es noch so eine Art "Grundregeln" beim umstellen von Formeln? Außer das beide seiten immer gleich sein müssen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:51 So 07.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nicht Grundregeln, aber nützliche Vorgehensweisen.
1. wo es geht kürzen. d.h. durch zahlen dividieren, die in jedem Summanden vorkommen
2. wenn Brüche vorkommen die Gleichung mit dem Nenner multipliziern.
Alle reinen Zahlenwerte zusmmenfassen, alle einfachen Unbekannten zusammenfassen, alle im Quadrat zusammenfassen.
3. Klammern auflösen
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:08 Mo 08.10.2007 | | Autor: | Mr_Tom |
also vielen Dank erstmal. Ich habe mir heute nochmal diese ganze Geschichte angeschaut und mein Wissen über Gleichungen usw. sogut es ging aufgefrischt. Jedoch komme ich noch nicht ganz klar.
wie setzt sich das zusammen?
[mm] S_{n}=\bruch{n}{2}*(2*5+(n-1)*5)
[/mm]
1050 = [mm] 5_{n} [/mm] --> ich denke die letze 5 multipliziert mit
dem n aus der Klammer.
1050 = [mm] 5_{n}+(n^{2} [/mm] --> [mm] n^{2} [/mm] eventuell 2*n aus dem
Bruch?
1050 = [mm] 5_{n}+(n^{2}-n) [/mm] --> Warum -n?
1050 = [mm] 5_{n}+(n^{2}-n)*\bruch{5}{2}
[/mm]
also ihr seht, so richtig bin ich noch nicht auf dem Damm. Bitte helft mir nocheinmal.
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Hallo Mr. Tom,
hmm, das hatte ich doch oben schon erklärt...
Ich versuch's mal etwas anders:
> wie setzt sich das zusammen?
>
> [mm]S_{n}=\bruch{n}{2}*(2*5+(n-1)*5)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Schreiben wir doch sone n-te Summe mal hin:
$a_1+a_2+a_3+.....+a_n$
$=a_1+\underbrace{(a_1+d)+(a_1+2d)+(a_1+3d)+.....+(a_1+(n-1)d)}_{\text{(n-1) Summanden}$
$=a_1+(n-1)a_1+d(\underbrace{1+2+3+....+(n-1)}_{=\frac{n(n-1)}{2}})$
$=na_1+d\frac{n(n-1)}{2}$
$=\frac{2n}{2}a_1+\frac{n(n-1)}{2}d$
Nun \frac{n}{2} ausklammern und du hast genau deinen Ausdruck für S_n
$S_n=\frac{n}{2}\cdot{}(2\cdot{}a_1+(n-1)\cdot{}d)$
> 1050 = [mm]5_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
--> ich denke die letze 5 multipliziert mit
> dem n aus der Klammer.
Mal bunt: $\red{\frac{n}{2}}\cdot{}(\blue{2\cdot{}5}+\green{(n-1)\cdot{}5})$
Fassen wir zuerst die Klammer zusammen:
$=\red{\frac{n}{2}}\cdot{}(\blue{10}+\green{5(n-1)})$
Nun ausklammern:
$=\red{\frac{n}{2}}\cdot{}\blue{10}+\red{\frac{n}{2}}\cdot{}\green{5(n-1)}$
$=\frac{n\cdot{}10}{2}}+\frac{5}{2}\cdot{}n(n-1)$
nun kürzen im ersten Bruch:
$=5n+\frac{5}{2}n(n-1)$
ausmultiplizieren im Term n(n-1): n(n-1)=n\cdot{}n-n\cdot{}1=n^2-n
$=5n+\frac{5}{2}(n^2-n)$
Das dann =1050 setzen und wie oben die quadratische Gleichung lösen...
> 1050 = [mm]5_{n}+(n^{2}[/mm] --> [mm]n^{2}[/mm] eventuell 2*n aus dem
> Bruch?
>
> 1050 = [mm]5_{n}+(n^{2}-n)[/mm] --> Warum -n?
>
> 1050 = [mm]5_{n}+(n^{2}-n)*\bruch{5}{2}[/mm]
>
> also ihr seht, so richtig bin ich noch nicht auf dem Damm.
> Bitte helft mir nocheinmal.
Ich hab's versucht  Ist es nun klarer geworden?
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:58 Mo 08.10.2007 | | Autor: | Mr_Tom |
vielen Dank für die Hilfe. Es wird besser. Ich schaue es mir aber nochmal in Ruhe an.
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