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| Aufgabe | * Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
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oder
* Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
grenzwert finden
lim x->0 [sin(a+2x) - 2sin(a+x) + sin(a)] / [mm] x^2
[/mm]
(a+x = c)
lim x->0 1/x * [ lim x->0 [sin [c+x] - sin(c)]/x - lim x->0 [sin(a+x) - sin(a)]/x ]
lim x->0 (cos (c) - cos (a) )/x
lim x->0 (cos (a+x) - cos a)/x
damit kommt -sina raus
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ist das alles korrekt und
ist der grenzwert von lim x-> 0 [sin ((a + x)+x) - sin(a+x)]/x = cos(a+x)
danke für die antwort :D
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:37 Do 14.08.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
ich verstehe zwar nicht so recht, was genau du da machst, weil man das nicht so gut entziffern kann, aber das Endergebnis stimmt. Versuche doch nächstes mal einfach den Formeleditor zu benutzen. Näheres zum Editor hier.
Deine Zweite Lösung ist fast richtig. Du musst jetzt noch x gegen Null gehen lassen, also kommt [mm] $\cos(a)$ [/mm] raus.
LG
Kroni
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| Aufgabe | danke für die schnelle antwort.
ich will ja den grenzwert herausfinden.
lim x->0 [mm] \bruch{sin(a+x+x)-sin(a+x)- (sin(a+x)-sin(a))}{x^2} [/mm]
jetzt forme ich das so um
(lim x->0 [mm] \bruch{sin(a+x+x)-sin(a+x))}{x} [/mm] - lim x->0 [mm] \bruch{sin(a+x)-sin(a)}{x} [/mm] ) * lim x->0 [mm] \bruch{1}{x} [/mm]
und will auf das hier kommen
(lim x->0 cos (a+x) - cos (a)) * lim x->0 [mm] \bruch{1}{x} [/mm] = lim x->0 [mm] \bruch{cos(a+x) - cos(a)}{x} [/mm]
dadurch dann auf -sina |
meine frage ist:
kann ich
lim x->0 [mm] \bruch{sin(a+x+x)-sin(a+x)}{x} [/mm]
als
lim x->0 cos(a+x) schreiben.
damit der obige lösungsweg korrekt ist.
danke noch mal
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Hallo onthenightshift,
> danke für die schnelle antwort.
>
> ich will ja den grenzwert herausfinden.
>
> [mm] $\lim\limits_{x\to 0}\bruch{sin(a+x+x)-sin(a+x)-(sin(a+x)-sin(a))}{x^2}$
[/mm]
>
>
> jetzt forme ich das so um
>
> [mm] $\left(\lim\limits_{x\to 0}\bruch{sin(a+x+x)-sin(a+x))}{x}-\lim\limits_{x\to 0}\bruch{sin(a+x)-sin(a)}{x}\right)\cdot{}\lim\limits_{x\to 0}\bruch{1}{x}$
[/mm]
Das halte ich für sehr gewagt, du darfst doch nur so mit den Limites rumhantieren und wild rumtauschen, wenn die einzelnen Limites auch existieren
Wenn du bei deinem umgeformten Ausdruck mal die Limites bildest, erhältst du (zB. mit de l'Hôpital für die Bruchterme) [mm] $\left(\cos(a)-\cos(a)\right)\cdot{}\infty=0\cdot{}\infty$
[/mm]
Oh wei, was soll das sein?
Das ist ein unbestimmter Ausdruck!
>
> und will auf das hier kommen
>
>
> [mm] $(\lim\limits_{x\to 0}(cos [/mm] (a+x)) \ - \ cos [mm] (a))\cdot{} \lim\limits_{x\to 0} \bruch{1}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\bruch{cos(a+x) - cos(a)}{x}$
[/mm]
geht nicht! Der Ausdruck linkerhand ergibt wieder den unbestimmten Ausdruck [mm] $0\cdot{}\infty$
[/mm]
Der Ausdruck rechterhand ergibt [mm] $-\sin(a)$
[/mm]
>
>
> dadurch dann auf -sina
> meine frage ist:
>
> kann ich
>
> lim x->0 [mm]\bruch{sin(a+x+x)-sin(a+x)}{x}[/mm]
>
> als
>
> lim x->0 cos(a+x) schreiben.
Hmm, das stimmt zwar, ich würde dies aber mit de l'Hôpital begründen:
[mm] $\frac{\sin(a+2x)-\sin(a+x)}{x}$ [/mm] strebt bei direktem Grenzübergang gegen den unbestimmten Ausdruck [mm] $\frac{\sin(a)-\sin(a)}{0}=\frac{0}{0}$
[/mm]
Mit de l'Hôpital (Zähler und Nenner getrennt ableiten) ergibt sich
[mm] $\frac{\left[\sin(a+2x)-\sin(a+x)\right]'}{[x]'}=\frac{2\cos(a+2x)-\cos(a+x)}{1}=2\cos(a+2x)-\cos(a+x)$
[/mm]
Und das strebt für [mm] $x\to [/mm] 0$ gegen [mm] $2\cos(a)-\cos(a)=\cos(a)$
[/mm]
Ebenso [mm] $\lim\limits_{x\to 0}\cos(a+x)=\cos(a)$
[/mm]
>
> damit der obige lösungsweg korrekt ist.
Nee, das klappt so noch nicht.
Am einfachsten ist es, wenn du auf deinen Ausgangsterm 2mal die Regel von de l'Hôpital anwendest ... (warum geht das?)
> danke noch mal
>
LG
schachuzipus
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hmm, nach den limit laws kann ich das in dieser art verändern.
http://www.math.oregonstate.edu/home/programs/undergrad/CalculusQuestStudyGuides/SandS/lHopital/limit_laws.html
hab die beweise für die gesetzte nicht als link.
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Hallo nochmal,
du benutzt die Regeln aber in die andere Richtung, und das geht i.A. nicht
In deinem link steht doch "Wenn die Limites [mm] $\lim\limits_{x\to a}f(x)$ [/mm] und [mm] $\lim\limits_{x\to a}g(x)$ [/mm] existieren, dann existieren auch zB. [mm] $\lim\limits_{x\to a} f(x)\cdot{}g(x)$ [/mm] usw.
Du benutzt es andersherum, denn du "zerlegst" ja den Ausgangsterm ...
und bastelst nicht aus existierenden Limites einen zusammengesetzten.
Ist ungefähr deutlich, was ich meine?
Ich kann's gerade nicht besser ausdrücken 
Gruß
schachuzipus
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da steht, dass der grenzwert der selbe ist.
multiplication law
lim x-> 0 f(x) * lim x->0 g(x) = lim x->0 (f(x) + g(x))
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korrigiere lim x-> 0 (f(x) * g(x) ) tippfehler
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Hi,
da steht doch dick und fett drüber
"IF BOTH limits [mm] $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ [/mm] AND [mm] $\lim\limits_{x\to x_0}g(x)$ [/mm] EXIST
THEN
[mm] $\lim\limits_{x\to x_0}(f(x)g(x))$ [/mm] exists
Das ist keine Äquivalenzaussage!!
Der Limes deines (zusammengesetzten) Ausgangsterms existiert (de l'Hôpital), aber du hast 3 "Teilterme" abgespaltet, von denen 2 einen GW haben, der dritte nicht:
Du hast ein [mm] $\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x}$ [/mm] "abgespaltet"
Und dieser Limes ex. nicht
Also genau ein Bsp dafür, dass die "Rückrichtung" der obigen Aussage nicht gilt
LG
schachuzipus
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ok, danke für die antwort.
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