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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - komplexes integral berechnen
komplexes integral berechnen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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komplexes integral berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:30 Di 13.05.2008
Autor: balisto

Aufgabe
Seien w, z, [mm] z_{0} \in \IC. [/mm] Es gilt: |w-z| = [mm] \bruch{r}{2} [/mm] für ein r [mm] \in \IR. [/mm]
Berechne [mm] \integral_{|w-z_{0}|=r}^{ }{\bruch{1}{|w-z|} dw}. [/mm]

Hallo!

Mir wurde gesagt, dass das Ergebnis des Integrals [mm] \bruch{2}{r} [/mm] * 2 [mm] *\pi*r [/mm] ist.
Meine Frage ist nun, wie ich darauf komme.
Die [mm] \bruch{2}{r} [/mm] erhalten ich sicher dadurch, dass |w-z| = [mm] \bruch{r}{2}, [/mm] oder?
Hmm... irgendwie ist mir nicht klar, wie ich so ein Integral berechne.
Wenn es mir jemand erklären würde, wäre ich sehr dankbar! :)

        
Bezug
komplexes integral berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:51 Mi 21.05.2008
Autor: rainerS

Hallo!

> Seien w, z, [mm]z_{0} \in \IC.[/mm] Es gilt: |w-z| = [mm]\bruch{r}{2}[/mm]
> für ein r [mm]\in \IR.[/mm]
>  Berechne [mm]\integral_{|w-z_{0}|=r}^{ }{\bruch{1}{|w-z|} dw}.[/mm]
>  
> Hallo!
>  
> Mir wurde gesagt, dass das Ergebnis des Integrals
> [mm]\bruch{2}{r}[/mm] * 2 [mm]*\pi*r[/mm] ist.
>  Meine Frage ist nun, wie ich darauf komme.
>  Die [mm]\bruch{2}{r}[/mm] erhalten ich sicher dadurch, dass |w-z| =
> [mm]\bruch{r}{2},[/mm] oder?

Hmm, ich nehme an, hier ist das reelle Wegintegral gemeint. Denn dann ist, wie du sagst

[mm] \integral_{|w-z_{0}|=r}{\bruch{1}{|w-z|} dw} = \integral_{|w-z_{0}|=r} \bruch{2}{r} dw = \bruch{2}{r} \integral_{|w-z_{0}|=r} dw[/mm].

Das verbleibende Integral ist dann gerade die Länge der Kurve: Die ist ein Kreis vom Radius r, hat also Länge [mm] $2\pi [/mm] r$.

>  Hmm... irgendwie ist mir nicht klar, wie ich so ein
> Integral berechne.

Wegintegrale kannst du ganz auch ganz stur berechnen:

1. Du wählst eine Prametrisierung des Weges. Der Kreis [mm] $|w-z_{0}|=r$ [/mm] kann zum Beispiel durch

[mm] w = \phi(t)= z_0 +r*e^{it}[/mm], [mm] 0\le t\le 2\pi[/mm]

beschreiben werden.

Dann setzt du ein:

[mm]\integral_{|w-z_{0}|=r}^{ }{\bruch{1}{|w-z|} dw = \integral_0^{2\pi} \bruch{1}{|\phi(t)-z|} |\phi'(t)| dt = \integral_0^{2\pi} \bruch{r}{|z_0-z+r*e^{it}|} dt[/mm].

Dieses Integral kannst du mit einiger Mühe ausrechnen.

  Viele Grüße
    Rainer

Bezug
                
Bezug
komplexes integral berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:32 Mi 21.05.2008
Autor: balisto

Hallo!

Vielen Dank für die Antwort!
Ich glaube, langsam kann ich mich mit solchen integralen anfreunden :)

Bezug
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